Question

給出定義，若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形．

（1）在你學過的特殊四邊形中，寫出兩種勾股四邊形的名稱；

（2）如圖，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉60°得到△DBE，連接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．

①求證：△BCE是等邊三角形；

②求證：DC²+BC²=AC²，即四邊形ABCD是勾股四邊形．

Answer 1

【考點】四邊形綜合題．

【分析】（1）根據定義和特殊四邊形的性質，則有矩形或正方形或直角梯形；

（2）①首先證明△ABC≌△DBE，得出AC=DE，BC=BE，連接CE，進一步得出△BCE為等邊三角形；

②利用等邊三角形的性質，進一步得出△DCE是直角三角形，問題得解．

【解答】解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；

證明：（2）①∵△ABC≌△DBE，

∴BC=BE，

∵∠CBE=60°，

∴△BCE是等邊三角形；

②∵△ABC≌△DBE，

∴BE=BC，AC=ED；

∴△BCE為等邊三角形，

∴BC=CE，∠BCE=60°，

∵∠DCB=30°，

∴∠DCE=90°，

在Rt△DCE中，

DC²+CE²=DE²，

∴DC²+BC²=AC²．