Question

9．如果一條拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以該拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”．
（1）請你判定“拋物線三角形”的形狀（不必寫出證明過程）；
（2）若拋物線y=-x²+bx（b＞0）的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如圖，△OAB是拋物線y=-x²+b′x（b′＞0）的“拋物線三角形”．請問是否存在以原點(diǎn)O為對稱中心的矩形ABCD？若存在，求出過O、C、D三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）拋物線的頂點(diǎn)必在拋物線與x軸兩交點(diǎn)連線的垂直平分線上，因此這個(gè)“拋物線三角形”一定是等腰三角形．
（2）觀察拋物線的解析式，它的開口向下且經(jīng)過原點(diǎn)，由于b＞0，那么其頂點(diǎn)在第一象限，而這個(gè)“拋物線三角形”是等腰直角三角形，必須滿足頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫、縱坐標(biāo)相等，以此作為等量關(guān)系來列方程解出b的值．
（3）由于矩形的對角線相等且互相平分，所以若存在以原點(diǎn)O為對稱中心的矩形ABCD，那么必須滿足OA=OB，結(jié)合（1）的結(jié)論，這個(gè)“拋物線三角形”必須是等邊三角形，首先用b′表示出AE、OE的長，通過△OAB這個(gè)等邊三角形來列等量關(guān)系求出b′的值，進(jìn)而確定A、B的坐標(biāo)，即可確定C、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)即可求出過O、C、D的拋物線的解析式．

解答 解：（1）如圖；
根據(jù)拋物線的對稱性，拋物線的頂點(diǎn)A必在O、B的垂直平分線上，所以O(shè)A=AB，即：“拋物線三角形”必為等腰三角形．

（2）當(dāng)拋物線y=-x²+bx（b＞0）的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，
該拋物線的頂點(diǎn)（$\frac{2}$，$\frac{^{2}}{4}$），滿足$\frac{2}$=$\frac{^{2}}{4}$（b＞0）．
則b=2．

（3）存在．
如圖，作△OCD與△OAB關(guān)于原點(diǎn)O中心對稱，則四邊形ABCD為平行四邊形．
當(dāng)OA=OB時(shí)，平行四邊形ABCD是矩形，
又∵AO=AB，
∴△OAB為等邊三角形．
∴∠AOB=60°，
作AE⊥OB，垂足為E，
∴AE=OEtan∠AOB=$\sqrt{3}$OE．
∴$\frac{b{′}^{2}}{4}$=$\sqrt{3}$•$\frac{b′}{2}$（b＞0）．
∴b′=2$\sqrt{3}$．
∴A（$\sqrt{3}$，3），B（2$\sqrt{3}$，0）．
∴C（-$\sqrt{3}$，-3），D（-2$\sqrt{3}$，0）．
設(shè)過點(diǎn)O、C、D的拋物線為y=mx²+nx，則$\left\{\begin{array}{l}{12m-2\sqrt{3}n=0}\\{3m-\sqrt{3}n=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
故所求拋物線的表達(dá)式為y=x²+2$\sqrt{3}$x．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，這道二次函數(shù)綜合題融入了新定義的形式，涉及到：二次函數(shù)的性質(zhì)及解析式的確定、等腰三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識，難度不大，重在考查基礎(chǔ)知識的掌握情況．