Question

【題目】我們定義:如果兩個等腰三角形的頂角相等，且項角的頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”.因為頂點相連的四條邊，形象的可以看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”.例如，如（1），與都是等腰三角形，其中，則△ABD≌△ACE(SAS).

（1）熟悉模型：如（2），已知與都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且，求證:；

（2）運用模型：如（3），為等邊內(nèi)一點，且，求的度數(shù).小明在解決此問題時，根據(jù)前面的“手拉手全等模型”，以為邊構(gòu)造等邊，這樣就有兩個等邊三角形共頂點，然后連結(jié)，通過轉(zhuǎn)化的思想求出了的度數(shù)，則的度數(shù)為 度；

（3）深化模型:如（4），在四邊形中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）150°；（3）

【解析】

（1）根據(jù)“SAS”證明△ABD≌△ACE即可；

（2）根據(jù)小明的構(gòu)造方法，通過證明△BAP≌△BMC，可證∠BPA=∠BMC，AP=CM，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠PMC=90°，于是得到結(jié)論；

（3）根據(jù)已知可得△ABC是等腰直角三角形，所以將△ADB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACE，則BD=CE，證明△DCE是直角三角形，再利用勾股定理可求CE值．

（1）∵，

∴，

在△ABD和△ACE中，

∵，

，

AD=AE，

∴△ABD≌△ACE，

∴；

（2）由小明的構(gòu)造方法可得，

BP=BM=PM，∠PBM=∠PMB=60°，

∴∠ABP=∠CBM，

又∵AB=BC，

∴△BAP≌△BMC，

∴∠BPA=∠BMC，AP=CM，

∵，

∴，

設(shè)CM=3x，PM=4x，PC=5x，

∵(5x)2=(3x)2+(4x)2，

∴PC2=CM2+PM2，

∴△PCM是直角三角形，

∴∠PMC=90°，

∴∠BPA=∠BMC=60°+90°=150°；

（3）∵∠ACB=∠ABC=45°，

∴∠BAC=90°，且AC=AB．

將△ADB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACE，

∴AD=AE，∠DAE=90°，BD=CE．

∴∠EDA=45°，DE=AD=4．

∵∠ADC=45°，

∴∠EDC=45°+45°=90°．

在Rt△DCE中，利用勾股定理可得，

CE= ，

∴BD=CE=．