Question

已知，如圖，在△ADC中，∠ADC=90°，以DC為直徑作半圓⊙O，交邊AC于點F，點B在CD的延長線上，連接BF，交AD于點E，∠BED=2∠C．
（1）求證：BF是⊙O的切線；
（2）若BF=FC，AE=

3

，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）欲證BF是圓O的切線，只需證明OF⊥BF；
（2）根據(jù)角與角間的數(shù)量關(guān)系推知△AEF的等邊三角形．所以易求AD=2

3

．則通過解直角△ADC來求直徑CD的長度．

解答：（1）證明：連接OF．
∵∠OFB=180°-∠B-∠BOF=180°-∠B-2∠C=180°-∠B-∠BED=90°，
∴OF⊥BF，
∴BF是⊙O的切線；

（2）解：∵BF=FC，
∴∠B=∠FCB，
∵∠BED=2∠C，
∴∠BDE+∠B=3∠C=90°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠AFE=60°，∠BED=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
則EF=AE=

3

．
∴AD=2

3

．
又∵∠C=30°，
∴CD=6，
∴⊙O的半徑是3．

點評：本題考查了勾股定理、切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．