Question

17．已知y₁=a₁（x-m）²+5，點（m，25）在拋物線y₂=a₂x²+b₂x+c₂上，其中m＞0．
（1）若a₁=-1，點（1，4）在拋物線y₁=a₁（x-m）²+5上，求m的值；
（2）記O為坐標原點，拋物線y₂=a₂x²+b₂x+c₂的頂點為M，若c₂=0，點A（2，0）在此拋物線上，∠OMA=90°，求點M的坐標；
（3）若y₁+y₂=x²+16x+13，且4a₂c₂-b₂²=-8a₂，求拋物線y₂=a₂x²+b₂x+c₂的解析式．

Answer 1

分析 （1）將a₁=-1和點（1，4）代入拋物線y₁=a₁（x-m）²+5即可求出m；
（2）先將（2，0）和c₂=0代入y₂=a₂x²+b₂x+c₂中即可得出b₂=-2a₂．進而求出拋物線的對稱軸，由∠OMA=90°，得出點M的坐標，
（3）方法一：根據(jù)點（m，25）在拋物線y₂=a₂x²+b₂x+c₂上得出a₂ m ²+b₂ m+c₂=25①，再根據(jù)y₁+y₂=x²+16x+13，得出a₁+a₂=1②，b₂-2a₁m=16③，a₁m²+c₂=8④，再結(jié)合4a₂c₂-b₂²=-8a₂，聯(lián)立即可求出m及a₂，b₂，c₂，即可得出拋物線解析式．
方法二：先根據(jù)x=m時兩個函數(shù)的值分別求出，再求和，再利用y₁+y₂=x²+16x+13，求出m，進而利用4a₂c₂-b₂²=-8a₂，求出拋物線的頂點坐標的縱坐標，最后用恒等式y(tǒng)₁+y₂=（a₁+a₂）x²-2（a₁+a₂h）x+a₁+a₂h²+3=x²+16 x+13，得出a₁+a₂=1①，-2（a₁+a₂h）=16②，a₁+a₂h²+3=13③，聯(lián)立這三個式子即可求出a₂，h即可得出結(jié)論．
方法三：先求出m的值，進而利用4a₂c₂-b₂²=-8a₂，求出拋物線的頂點坐標的縱坐標，再用a₁表示出y₂和它的頂點坐標的縱坐標建立方程求出a₁即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵a₁=-1，∴y₁=-（x-m）²+5．
將（1，4）代入y₁=-（x-m）²+5，得
4=-（1-m）²+5．
m=0或m=2．
∵m＞0，
∴m=2．
（2）∵c₂=0，
∴拋物線y₂=a₂ x²+b₂ x．
將（2，0）代入y₂=a₂ x²+b₂ x，得4a₂+2b₂=0．即b₂=-2a₂．
∴拋物線的對稱軸是x=1．
設對稱軸與x軸交于點N，根據(jù)拋物線的對稱性得，△OAM是等腰三角形，
∴NA=NO=1．
∵∠OMA=90°，
∴MN=OA=1．
∴當a₂＞0時，M（1，-1）；
當a₂＜0時，M（1，1）．
∵25＞1，
∴M（1，-1），

（3）方法一：∵點（m，25）在拋物線y₂=a₂ x²+b₂x+c₂上，
∴a₂ m ²+b₂ m+c₂=25①
∵y₁+y₂=（a₁+a₂）x²+（b₂-2a₁m）x+5+a₁m²+c₂=x²+16x+13，
∴a₁+a₂=1②，
b₂-2a₁m=16③
a₁m²+c₂=8④
由③得，b₂m=16m+2a₁m²⑤，
由④得，c₂=8a₁m²⑥
將⑤⑥代入方程①得，a₂ m ²+16m+2 m ² a₁+8-m ² a₁=25．
整理得，m ²+16m-17=0．
解得m₁=1，m₂=-17．
∵m＞0，
∴m=1．
將m=1代入③得，b₂=16+2a₁=12+2（1-a₂）=18-2a₂，
將m=1代入④得，c₂=8-a₁=8-（1-a₂）=7+a₂．
∵4a₂ c₂-b₂²=-8a₂，
∴4a₂（7+a2）-（18-2a₂）²=-8a₂．
∴a₂=3．
∴b₂=18-2×3=12，c₂=7+3=10．
∴拋物線y₂=a₂x²+b₂x+c₂的解析式為y=3x²+12+10．


方法二，由題意知，當x=m時，y₁=5；當x=m時，y₂=25；
∴當x=m時，y₁+y₂=5+25=30．
∵y₁+y₂=x₂+16 x+13，
∴30=m²+16m+13．
解得m₁=1，m₂=-17．
∵m＞0，
∴m=1．
∵4a₂ c₂-b₂²=-8a₂，
∴$\frac{4{a}_{2}{c}_{2}-{_{2}}^{2}}{4{a}_{2}}$=$\frac{-8{a}_{2}}{4{a}_{2}}$=-2
∴y₂ 頂點的縱坐標為-2．
設拋物線y₂的解析式為y₂=a₂ （x-h）²-2．
∴y₁+y₂=a₁ （x-1）²+5+a₂ （x-h）²-2．
∵y₁+y₂=（a₁+a₂）x²-2（a₁+a₂h）x+a₁+a₂h²+3=x²+16 x+13，
∴a₁+a₂=1①，-2（a₁+a₂h）=16②，a₁+a₂h²+3=13③，
將①代入②③化簡得，a₂h-a₂=-9④，a₂h²-a₂=9⑤，
聯(lián)立④⑤，解得h=-2，a₂=3．
∴拋物線的解析式為y₂=3（x+2）²-2=3x²+12+10．

方法三、由題意知，當x=m時，y₁=5；當x=m時，y₂=25，
∴當x=m時，y₁+y₂=5+25=30．
∵y₁+y₂=x²+16x+13，
∴30=m²+16m+13，
∴m=1或m=-17，
∵m＞0，
∴m=1，
∴y₁=a₁ （x-1）+5．
∵y₁+y₂=x²+16x+13，
∴y²=x²+16 x+13-y₁
=x₂+16x+13-a₁ （x-1）²-5．
即y₂=（1-a₁）x²+（16+2a₁）x+8-a₁．

∵4a₂c₂-b₂²=-8a₂，
∴$\frac{4{a}_{2}{c}_{2}-{_{2}}^{2}}{4{a}_{2}}$=$\frac{-8{a}_{2}}{4{a}_{2}}$=-2
∴y₂ 頂點的縱坐標為-2．
∴$\frac{4（1-{a}_{1}）（8-{a}_{1}）-（16+2{a}_{1}）^{2}}{4（1-{a}_{1}）}$=-2
∴a₁=-2．
∴y₂=3x²+10x+10．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，拋物線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，恒等式，解本題的關鍵是列出方程，解方程組是解本題的難點，是一道很好的中考題．