Question

2．如圖，一次函數(shù)y=-$\frac{3}{4}$x+3的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象交于點(diǎn)C（2，n），過點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D．
（1）求k的值；
（2）將線段OD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE，旋轉(zhuǎn)角為β（0°＜β＜90°）
①若直線OE與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象交于點(diǎn)M，設(shè)線段OM的長為m，當(dāng)β=60°時(shí)，求m²的值；
②連接EA、EB，當(dāng)EA+$\frac{2}{3}$EB最小時(shí)，請寫出求cosβ值的解題思路，可以不寫出計(jì)算結(jié)果．

Answer 1

分析 （1）先確定出點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式中即可得出k；
（2）①先確定出直線OE的解析式，設(shè)出點(diǎn)M坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式中，直接求出n的平方，即可求出m的值；
（3）先判斷出EA+$\frac{2}{3}$EB最小時(shí)的條件，判斷出過點(diǎn)A的直線和以O(shè)為圓心，2為半徑的圓先求出取到最�。�

解答 解：（1）∵點(diǎn)C（2，n）在直線y=-$\frac{3}{4}$x+3上，
∴n=-$\frac{3}{4}$×2+3=$\frac{3}{2}$，
∴C（2，$\frac{3}{2}$），
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴k=2×$\frac{3}{2}$=3，
（2）①如圖1，過點(diǎn)E作EF⊥OA，
由旋轉(zhuǎn)知，OE=OD=2，∠EOF=60°，
∴OF=1，EF=$\sqrt{3}$，
∴E（1，$\sqrt{3}$），
∴直線OE的解析式為y=$\sqrt{3}$x，
設(shè)點(diǎn)M（n，$\sqrt{3}$n，）
由（1）知，k=3，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{3}{x}$，
∵點(diǎn)M在反比例函數(shù)上，
∴$\sqrt{3}$n=$\frac{3}{n}$，
∴n²=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴m²=OM²=n²+（$\sqrt{3}$n）²=4n²=4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
②如圖2，
設(shè)點(diǎn)E（p，q），
∵B（0，3），
∴$\frac{2}{3}$EB=$\frac{2}{3}$$\sqrt{{p}^{2}+（q-3）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{2}{3}p）^{2}+（\frac{2}{3}q-2）^{2}}$，
（$\frac{2}{3}$p，$\frac{2}{3}$q）記作點(diǎn)E'，表示線段OE距離原點(diǎn)的距離是$\frac{2}{3}$OE，
（0，2）記作B'，
∴$\sqrt{（\frac{2}{3}p）^{2}+（\frac{2}{3}q-2）^{2}}$表示的是點(diǎn)B'到點(diǎn)E'的距離，
當(dāng)B'E'⊥OE，AE⊥OE時(shí)，EA+$\frac{2}{3}$EB最小，
在Rt△AOE中，OA=4，OC=2，
∴cosβ=cos∠AOE=$\frac{OE}{OA}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平面坐標(biāo)系內(nèi)，兩點(diǎn)間的距離公式，確定出k是解本題的關(guān)鍵，判斷出EA+$\frac{2}{3}$EB最小時(shí)的條件是解本題的難點(diǎn)．