Question

8．如圖，OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線．

（1）如圖1，當∠AOB=90°，∠BOC=60°時，∠MON的度數(shù)是多少？為什么？
（2）如圖2，當∠AOB=70°，∠BOC=60°時，∠MON=35°（直接寫出結(jié)果）．
（3）如圖3，當∠AOB=α，∠BOC=β時，猜想：∠MON=$\frac{1}{2}α$（直接寫出結(jié)果）．
（4）從（1）（2）（3）的結(jié)果中，你能看出什么規(guī)律？

Answer 1

分析 （1）求出∠AOC度數(shù)，求出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；
（2）求出∠AOC度數(shù)，求出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；
（3）求出∠AOC度數(shù)，求出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；
（4）由前三個即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=90°+60°=150°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=75°，∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=45°．   

（2）如圖2，
∵∠AOB=70°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=70°+60°=130°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=65°，∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=65°-30°=35°．   
故答案為：35°．
 
（3）如圖3，∠MON=$\frac{1}{2}$α，與β的大小無關(guān)．    
理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β．         
∵OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（α+β），
∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$β，
∴∠AON=∠AOC-∠NOC=α+β-$\frac{1}{2}$β=α+$\frac{1}{2}$β．       
∴∠MON=∠MOC-∠NOC
=$\frac{1}{2}$（α+β）-$\frac{1}{2}$β=$\frac{1}{2}$α           
即∠MON=$\frac{1}{2}$α，
故答案為：$\frac{1}{2}$α．
（4）∠MON=$\frac{1}{2}$∠AOB，與∠BOC的大小無關(guān)．

點評 本題考查了角平分線定義和角的有關(guān)計算，關(guān)鍵是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度數(shù)和得出∠MON=∠MOC-∠NOC