Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，AC=3

3

，DC=3，O是邊AB上一動點（O與點A和B不重合），以OA為半徑的⊙O與AB相交于點E．
（1）若⊙O經過點D，求證：BC與⊙O相切；
（2）試求在（1）中⊙O的半徑OA的長度；
（3）請分別寫出⊙O與BC所在直線相交和相離時OA的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：如圖，連接OD．
∵OA=OD，AD平分∠BAC，
∴∠ODA=∠OAD，∠OAD=∠CAD．
∴∠ODA=∠CAD．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°．
∴BC是⊙O的切線．

（2）∵在Rt△ACD中，AD=

AC2+CD2

=6
∴CD=

1

2

AD
∴∠CAD=∠DAB=30°
連接ED，
∵AE為⊙O的直徑
∴∠ADE=90°
∴ED=

AD

3

=2

3

∴AE=2ED=4

3

，
即⊙O的半徑OA的長度是2

3

．

（3）當0＜OA＜2

3

時⊙O與BC所在直線相離
當2

3

＜OA＜6

3

時⊙O與BC所在直線相交．