Question

已知，如圖，在△ADC中，∠ADC=90°，∠A=60°，以DC為直徑作半圓⊙O，交邊AC于點(diǎn)F，點(diǎn)B在CD的延長線上，連接BF，交AD于點(diǎn)E，BF=FC．
（1）求證：BF是⊙O的切線；
（2）若AE=

3

，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OF，先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算出∠C=30°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠BOF=∠C+∠OCF=60°，由BF=FC得到∠B=∠C=30°，則可計算出∠OFB=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；
（2）先證明△AEF是等邊三角形，則EF=AE=

3

，再證明AD為⊙O切線，根據(jù)切線長定理得到EF=ED=

3

，所以AD=2

3

，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CD=

3

AD=6，即可得到⊙O的半徑是3．

解答：（1）證明：連接OF，如圖，
∵∠ADC=90°，∠A=60°
∴∠C=30°，
∵OC=OF，
∴∠C=∠OFC=30°，
∴∠BOF=∠C+∠OCF=60°，
∵BF=FC，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠OFB=180°-∠B-∠BOF=90°，
∴OF⊥BF，
∴BF是⊙O的切線；
（2）解：∵∠AFE=∠B+∠C=60°，∠A=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴EF=AE=

3

，
∵∠ADC=90°，即OD⊥AD，
∴ED與⊙O相切于D，
∴EF=ED=

3

，
∴AD=2

3

，
∴CD=

3

AD=6，
∴⊙O的半徑是3．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了切線長定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．