Question

【題目】已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一塊等腰直角三角板的直角頂點放在C處，CP＝CQ＝2，將三角板CPQ繞點C旋轉（點P在△ABC內(nèi)部），連接AP、BP、BQ．

（1）求證：AP＝BQ；

（2）當PQ⊥BQ時，求AP的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）﹣

【解析】

（1）欲證明PA＝BQ，只要證明△ACP≌△BCQ即可；

（2）如圖2中，作CH⊥PQ于H．首先證明A、P、Q共線，利用勾股定理求出AH，PH即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，

∵CA＝CB，CP＝CQ，∠ACB＝∠PCQ＝90°，

∴∠ACP＝∠BCQ，

∴△ACP≌△BCQ，

∴PA＝BQ．

（2）解：如圖2中，作CH⊥PQ于H．

∵PQ⊥BQ，

∴∠PQB＝90°，

∵∠CQP＝∠CPQ＝45°，

∴∠CQB＝135°，

∵△ACP≌△CBQ，

∴∠APC＝∠CQB＝135°，

∴∠APC+∠CPQ＝180°，

∴A、P、Q共線，

∵PC＝2，

∴CH＝PH＝，

在Rt△ACH中，AH＝＝＝，

∴PA＝AH﹣PH＝﹣．