Question

【題目】數(shù)學課上，老師出示了如下框中的題目：

小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：

（1）特殊情況，探索結論

當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關系．請你直接寫出結論：AE_______DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．

（2）特例啟發(fā)，解答題目

解：題目中，AE與DB的大小關系是：AE　 　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）理由如下：如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F，（請你接著繼續(xù)完成以下解答過程）

（3）拓展結論，設計新題

在等邊三角形ABC中，點E在直線上AB上，點D在直線BC上，且ED＝EC．若△ABC的邊長為3，AE＝5，求CD的長（請你直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】（1）＝；（2）＝，見解析；（3）CD的長是8或2

【解析】

（1）利用等腰三角形三線合一的性質以及等邊三角形的性質可以得出∠BCE=∠ACE=30°，又根據(jù)ED=EC得到∠D=∠ECD=30°，可進一步得出∠D=∠DEB，推出BD=BE即可解決問題；
（2）作EF∥BC交AC于F，先證明△AEF為等邊三角形，再證明△DBE≌△EFC即可解決問題；
（3）分四種情形：①當點E在AB的延長線上，點D在CB的延長線上時，由（2）同理可得BD=AE，再根據(jù)CD=BD+BC即可求出結果；②當點E在BA的延長線上，點D在BC的延長線上時，過A作AN⊥BC于N，過E作EM⊥CD于M，先求出CM的長，從而可得出CD的長；③當點E在AB的延長線上，點D在BC的延長線上時，由于∠ECD＞∠EBC，此時不存在EC＝ED；④當點E在BA的延長線上，點D在CB的延長線上時，有∠ECD＞∠EDC，此時情況不存在．

解：（1）如圖1中，結論：AE=BD．
∵△ABC是等邊三角形，AE=EB，
∴∠BCE=∠ACE=30°，∠ABC=60°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD=30°，
∵∠EBC=∠D+∠BED，
∴∠D=∠BED=30°，
∴BD=BE=AE．
故答案為：=．

（2）AE＝DB．

理由如下：如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F，

在等邊△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC，

∵EF∥BC，

∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，

∴∠AEF＝∠AFE＝∠BAC＝60°，

∴AE＝AF＝EF，

∴AB﹣AE＝AC﹣AF，

即BE＝CF，

∵∠ABC＝∠EDB+∠BED，∠ACB＝∠ECB+∠FCE，

∵ED＝EC，

∴∠EDB＝∠ECB，

∴∠BED＝∠FCE，

在△DBE和△EFC中

，

∴△DBE≌△EFC（SAS），

∴DB＝EF，

∴AE＝BD，

故答案為：＝．

（3）分為四種情況：

①當點E在AB的延長線上，點D在CB的延長線上時，如圖：

∵AB＝AC＝3，AE＝5，

同（2）可得BD=AE，

∴BD＝AE＝5，

∴CD＝3+5＝8；

②當點E在BA的延長線上，點D在BC的延長線上時，如圖，過A作AN⊥BC于N，過E作EM⊥CD于M，

∵等邊三角形ABC，

∴∠AEM=90°-∠B=30°，

∴BM＝BE＝×（3+5）＝4，

∴CM＝BM-BC＝4﹣3＝1，

∵EC=ED，EM⊥CD，

∴CD＝2CM＝2；

③當點E在AB的延長線上，點D在BC的延長線上時，如圖，

∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC＝120°），而∠ECD不能大于120°，否則△EDC不符合三角形內角和定理，

∴此時不存在EC＝ED；

④當點E在BA的延長線上，點D在CB的延長線上時，如圖，

∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，

又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，

∴∠ECD＞∠EDC，

即此時ED≠EC，

∴此時情況不存在，

綜上所述：CD的長是8或2．