Question

19．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N也從A點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)M，N有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．
（1）AB的長(zhǎng)為10；
（2）△MCN的面積的最大值是$\frac{48}{5}$．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理直接計(jì)算即可求出AB的長(zhǎng)；
（2）過點(diǎn)M，作MD⊥AC于點(diǎn)D，首先求出△MCN面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出△MCN面積最大值．

解答 解：（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10．
故答案為10；
（2）過點(diǎn)M，作MD⊥AC于點(diǎn)D，
∵BC⊥AC，
∴MD∥BC，
∴△AMD∽△ABC，
∴ND：BC=AM：AB，
∵動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N也從A點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，
∴AM=2t，NC=AC-AN=8-t，
∴$\frac{MD}{6}=\frac{2t}{10}$，
∴MD=$\frac{6}{5}$t，
∴S_△MNC=$\frac{1}{2}$NC•MD=$\frac{1}{2}$（8-t）•$\frac{6}{5}$t=-$\frac{3}{5}$（t-4）²+$\frac{48}{5}$，
∵當(dāng)M，N有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，
∴0≤t≤5，
∴△MCN的面積的最大值是$\frac{48}{5}$．
故答案為$\frac{48}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用以及二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)．試題難度不大，需要注意的是（2）問中，自變量取值區(qū)間上求最大值，而不能機(jī)械地套用公式．