Question

11．如圖，在半徑為2的⊙O中，弦AB長(zhǎng)為2．
（1）求點(diǎn)O到AB的距離．
（2）若點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），求∠BCA的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，證出△OAB是等邊三角形，繼而求得∠AOB的度數(shù)，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，求得點(diǎn)O到AB的距離；
（2）證出△ABO是等邊三角形得出∠AOB=60°． 再分兩種情況：點(diǎn)C在優(yōu)弧$\widehat{ACB}$上，則∠BCA=30°；點(diǎn)C在劣弧$\widehat{AB}$上，則∠BCA=$\frac{1}{2}$（360°-∠AOB）=150°；即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，連接AO，BO．如圖1所示：
∵OD⊥AB且過圓心，AB=2，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=1，∠ADO=90°，
在Rt△ADO中，∠ADO=90°，AO=2，AD=1，
∴OD=$\sqrt{A{O}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
即點(diǎn)O到AB的距離為$\sqrt{3}$．
（2）如圖2所示：
∵AO=BO=2，AB=2，
∴△ABO是等邊三角形，
∴∠AOB=60°． 
若點(diǎn)C在優(yōu)弧$\widehat{ACB}$上，則∠BCA=30°；
若點(diǎn)C在劣弧$\widehat{AB}$上，則∠BCA=$\frac{1}{2}$（360°-∠AOB）=150°；
綜上所述：∠BCA的度數(shù)為30°或150°．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了垂徑定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、弧長(zhǎng)公式．熟練掌握垂徑定理，證明△OAB是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．