Question

如圖，⊙O₁和⊙O₂內(nèi)切于點(diǎn)A，⊙O₂的弦BC切⊙O₁于D．AD的延長線交⊙O₂于M，連接AB、AC分別交⊙O₁于E、F，連接EF．
（1）求證：EF∥BC；
（2）求證：AB•AC=AD•AM；
（3）若⊙O₁的半徑r₁=3，⊙O₂的半徑r₂=8，BC是⊙O₂的直徑，求AB和AC的長（AB＞AC）．

Answer 1

（1）證明：如圖，過A作⊙O₁、⊙O₂的公切線AT
∵∠TAB=∠AFE=∠ACB，∴EF∥BC，

（2）證明：連接CM，
∵∠ABD=∠AMC，∠TAM=∠ADB，∠TAM=∠ACM，
∴∠ADB=∠ACM，
∴△ADB∽△ACM，
∴

AD

AC

=

AB

AM

即AB•AC=AD•AM．

（3）連接O₁D，∴O₁D⊥BC，連接O₂O₁并延長，必過A點(diǎn)，
在Rt△O₁O₂D中，可求得O₂D=4，
∴BD=12，CD=4．
∵O₁E∥O₂B，∴

AE

AB

=

r1

r2

=

3

8

∴BE=

5

8

AB
∵BD²=AB•BE，∴12²=AB•

5

8

AB
∴AB=

24 10

5

，AC=

8 10

5

．