Question

【題目】已知圓0的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，CG是圓O的切線交AB的延長線于點(diǎn)G，連接CO并延長交AD于點(diǎn)F，且CFAD.

（1）試問：CG//AD嗎？說明理由：

（2）證明：點(diǎn)E為OB的中點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1)平行，理由見解析（2）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)切線的性質(zhì)知CG⊥CF，再由已知條件CF⊥AD，可以根據(jù)在同一平面內(nèi)，同時(shí)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行判定CG∥AD；

（2）連接AC構(gòu)建等邊三角形ACD，然后根據(jù)等邊三角形的“三線合一”、三個內(nèi)角都是60°的性質(zhì)推知∠FCD＝30°；最后利用垂徑定理和30°的直角邊是斜邊的一半求得OE＝OB，即點(diǎn)E為OB的中點(diǎn).

（1）CG∥AD，理由如下：

∵CG是⊙O的切線，OC是⊙O的半徑，

∴CG⊥CF；

又∵CF⊥AD，

∴CG∥AD；

（2）如圖（1），連接AC，

∵CF⊥AD，AE⊥CD，

且CF、AE過圓心O，

∴AC＝AD＝CD，

∴△ACD是等邊三角形，

∴∠D＝60°，

∴∠FCD＝30°；

在Rt△COE中，OE＝OC，

∴OE＝OB，

∴點(diǎn)E為OB的中點(diǎn).