Question

8．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且∠B=60°，CD是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)A的切線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．
（1）求證：AP=AC；
（2）若PD=$\sqrt{3}$，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OA、AD，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠DAC=90°，∠ADC=∠B=60°，則∠ACD=30°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OAP=90°，接著計(jì)算出∠P=30°，即∠P=∠ACP，然后根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）在Rt△AOP中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OP=2OA，即OD+PD=2OA，于是可計(jì)算出OA，從而得到⊙O的直徑．

解答 （1）證明：連結(jié)OA、AD，如圖，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DAC=90°，
∵∠ADC=∠B=60°，
∴∠ACD=30°，
∵PA為⊙O的切線，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵∠AOD=2∠ACD=60°，
∴∠P=90°-60°=30°，
∴∠P=∠ACP，
∴AP=AC；
（2）解：在Rt△AOP中，∵∠P=30°，
∴OP=2OA，
即OD+PD=2OA，
∴OA+$\sqrt{3}$=2OA，解得OA=$\sqrt{3}$，
∴⊙O的直徑為2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．