Question

17．如圖，拋物線y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸為x=-1，該拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），交y軸于C（0，3），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）試判斷△BCD的形狀，并予證明．
（3）在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△ACP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0），故設(shè)拋物線為兩點(diǎn)式方程y=a（x-1）（x+3），把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求得a的值；利用配方法將拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，即可得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）過(guò)D作DT⊥y軸于T，則可求得∠DCT=45°，∠BCO=45°，則可判斷△BCD的形狀利；
（3）可設(shè)出P（-1，t），則可分別表示出AP、CP、AC的長(zhǎng)度，分AP=CP、AP=AC和CP=AC三種情況分別可得到關(guān)于t的方程，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）點(diǎn)A（1，0）關(guān)于x=-1的對(duì)稱點(diǎn)B（-3，0），
設(shè)過(guò)A（1，0）、B（-3，0）的拋物線為y=a（x-1）（x+3），
該拋物線又過(guò)C（0，3）有：3=-3a，解得a=-1
即y=-（x+1）²+4=-x²-2x+3，頂點(diǎn)D為（-1，4）；
（2）△DCB為直角三角形，
理由如下：
過(guò)D點(diǎn)，作DT⊥y軸于T，如圖1，
則T（0，4）．
∵DT=TC=1，
∴△DTC為等腰直角三角形，
∴∠DCT=45°，
同理可證∠BCO=45°，
∴∠DCB=90°，
∴△DCB為直角三角形；
（3）設(shè)P（-1，t），
∵A（1，0），C（0，3），
∴AP²=（1+1）²+t²=4+t²，CP²=1²+（t-3）²=t²-6t+10，AC²=1²+3²=10，
∵△APC為等腰三角形，
∴有AP=CP、AP=AC和CP=AC三種情況，
①當(dāng)AP=CP時(shí)，則有AP²=CP²，即4+t²=t²-6t+10，解得t=1，此時(shí)P（-1，1）；
②當(dāng)AP=AC時(shí)，則有AP²=AC²，即4+t²=10，解得t=±$\sqrt{6}$，此時(shí)P（-1，$\sqrt{6}$）或（-1，-$\sqrt{6}$）；
③當(dāng)CP=AC時(shí)，則有CP²=AC²，即t²-6t+10=10，解得t=0或t=6，此時(shí)P（-1，0）或P（-1，6）；
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（-1，1）或（-1，$\sqrt{6}$）或（-1，-$\sqrt{6}$）或（-1，0）或（-1，6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、直角三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、方程思想及分類討論思想等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中注意拋物線解析式三種形式的靈活運(yùn)用，在（2）中證得∠DCB為直角是解題的關(guān)鍵，在（3）中用P點(diǎn)的坐標(biāo)分別表示出AP、CP的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．