Question

14．已知二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．
（1）求出b、c的值，并寫出此二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象，直接寫出函數(shù)值y為正數(shù)時(shí)，自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)2≤x≤4時(shí)，求y的最大值．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)辄c(diǎn)（-1，0），（0，3）在拋物線y=-x²+bx+c上，可代入確定b、c的值；
（2）求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖象確定y＞0時(shí)，x的取值范圍；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的增減性，確定2≤x≤4時(shí)，y的最大值．

解答 解：（1）把（-1，0），（0，3）代入y=-x²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以二次函數(shù)的解析式為：y=-x²+2x+3
（2）把x=0代入y=-x²+bx+c中，
得-x²+bx+c=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以當(dāng)-1＜x＜3，y＞0；
（3）由y=-x²+2x+3
=-（x-1）²+4，
拋物線的對稱軸為直線x=1，
則當(dāng)2≤x≤4時(shí)，y隨著x的增大而減小，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y的最大值是3．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的圖象、極值、與x軸的交點(diǎn)等知識，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，通常利用數(shù)形結(jié)合解決此類問題．