Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2 -2x+2的圖象與y軸交于點(diǎn)C，以O(shè)C為一邊向左側(cè)作正方形OCBA,點(diǎn)B剛好落在拋物線上.

（1）求a的值；

（2）若點(diǎn)D在二次函數(shù)y=ax2 -2x+2的圖象的對稱軸上，點(diǎn)E在二次函數(shù)y=ax2 ﹣2x+2的圖象上，是否存在以B,C,D,E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）如圖2，把正方形OCBA繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)α后得到正方形A1B1C1O（0°<α<90°）。在旋轉(zhuǎn)過程中，若點(diǎn)A1落在二次函數(shù)y=ax2﹣2x+2的圖象對稱軸上，求出此時的點(diǎn)B1的坐標(biāo).

Answer 1

（1）-1；（2）（-1，3）或（-3，-1）或（1，-1），（3）（2sin15°，2cos15°）.

【解析】

試題分析：（1）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)正方形的邊長相等，得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入y=ax2-2x+2，即可得出a的值．

（2）分兩種情況求【解析】
①當(dāng)點(diǎn)E在拋物線頂點(diǎn)時；②當(dāng)BC∥DE，且DE=BC=2時，即可求出答案；

（3）①由點(diǎn)A1落在二次函數(shù)對稱軸上，OA1=2，可得出∠A1OA=60°，進(jìn)而得出∠BOB1=60°，求出∠B1OC=15°，利用三角函數(shù)表示點(diǎn)B1的坐標(biāo)即可；

②設(shè)F（-1，m），由△A1B1F∽△HOF得出A1F=2m，由OB1=OB=2，得出B1H=，在Rt△A1B1F中由勾股定理A1F2+A1B12=B1F2，列出方程（2m）2+22=（-m）2求出m的值，即可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

試題解析：（1）二次函數(shù)y=ax2-2x+2的圖象與y軸交于點(diǎn)C，

∴C（0，2），

∵以O(shè)C為一邊向左側(cè)作正方形OCBA，點(diǎn)B剛好落在拋物線上．

∴B（-2，2），把B（-2，2）代入y=ax2-2x+2，得2=4a+4+2，解得a=-1

（2）①當(dāng)點(diǎn)E在拋物線頂點(diǎn)時，

∵二次函數(shù)的解析式為y=-x2-2x+2．

∴E（-1，3）

∵點(diǎn)D在二次函數(shù)的對稱軸上，

∴當(dāng)E（-1，3）以B，C，D，E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形

②當(dāng)BC∥DE，且DE=BC=2時，

∵點(diǎn)D在二次函數(shù)的對稱軸上，

∴D的橫坐標(biāo)為-1，

∴設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為t，則有-1-t=2，或t-（-1）=2，解得t=-3或1．

∴E（-3，-1）或（1，-1）

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，3）或（-3，-1）或（1，-1），以B，C，D，E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

（3）如圖1，

∵點(diǎn)A1落在二次函數(shù)對稱軸上，OA1=2

∴∠A1OA=60°，

∴∠BOB1=60°，

∴∠B1OC=60°-45°=15°，

∵OB1=OB=2，

∴B1（2sin15°，2cos15°）.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．