Question

2．在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)$y=-\frac{4}{3}x+b$的圖象分別交x軸、y軸正半軸于點(diǎn)A、C，在第一象限內(nèi)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，$\frac{16}{3}$），CM=$\frac{5}{3}$，過點(diǎn)C作射線CR∥x軸．
（1）求直線AC的解析式；
（2）點(diǎn)P自點(diǎn)C沿射線CR以每秒1個(gè)單位長度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q自點(diǎn)A沿線段AC以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B（-1，0），過點(diǎn)P作PF∥CB，分別交線段AC、x軸于點(diǎn)E、F，設(shè)線段EQ的長為S （s＞0）個(gè)單位長度，點(diǎn)Q 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在t值，使得∠PFQ=45°？若存在，求t值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由CM的長度，及直線AC解析式可以得出b值，進(jìn)而求出直線AC的解析式；
（2）先求出AC長度，再分別表示出CE、AQ的長度，則EQ的長度自然可以表示出來；
（3）通過輔助線構(gòu)造等腰直角三角形，利用相似三角形解決問題．

解答 解：（1）∵點(diǎn)C在y軸上，設(shè)點(diǎn)C（0，b），
∵CM=$\frac{5}{3}$，M（1，$\frac{16}{3}$），
∴$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{16}{3}-b）^{2}}$=$\frac{5}{3}$
解得：b=4，或b=$\frac{20}{3}$，
∵點(diǎn)C在點(diǎn)M下方，
∴直線AC解析式為：y=-$\frac{4}{3}$x+4．
（2）在RT△AOC中，∵AO=3，CO=5，
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=5，
∵EF∥AB，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{BA}$，
∴$\frac{AE}{5}=\frac{3-（t-1）}{4}$，
∴AE=5-$\frac{5}{4}$t，CE=$\frac{5}{4}$t，
當(dāng)CE+AQ=5時(shí)，$\frac{5}{4}$t+t=5，
∴t=$\frac{20}{9}$
①0＜t≤$\frac{20}{9}$時(shí)，EQ=AC-CE-AQ=5-$\frac{5}{4}$t-t=5-$\frac{9}{4}$t，
②$\frac{20}{9}$＜t≤3時(shí)，EQ=EC+AQ-AC=$\frac{9}{4}$t-5，
③3＜t≤5時(shí)，由$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$得$\frac{AE}{5}=\frac{t-4}{4}$
∴AE=$\frac{5}{4}$t-5，
∴EQ=AE+AQ=t+$\frac{5}{4}$t-5=$\frac{9}{4}$t-5，
（3）存在；
情形①如圖，取點(diǎn)M（4，3），連接CM，BM，作MG⊥CR垂足為G交OA于K，作QH⊥OA垂足為H，
∵CG=CO=4，∠CGM=∠COB=90°，MG=BO=1
∴△CGM≌△COB，
∴∠GCM=∠OCB，CB=CM，
∴∠BCM=∠OCG=90°，
∴△BCM的等腰直角三角形，
∴∠1=∠3=45°，
∵PF∥BC，
∴∠2=∠1=45°，∵∠4=45°，
∴∠2=∠4，
∴FQ∥BN，
∴∠QFH=∠MBK，∵∠QHF=∠MKB=90°，
∴△QHF∽△MKB，
∴$\frac{QH}{MK}=\frac{FH}{BK}$，∴$\frac{\frac{4}{5}t}{3}=\frac{3-（t-1）-\frac{3}{5}t}{5}$，
∴t=$\frac{15}{11}$．
情形②如圖，由∠2=∠4=45°，可知∠MNF=90°，
由△QHF∽BKM得到$\frac{QH}{BK}=\frac{HF}{MK}$，
∴$\frac{\frac{4}{5}t}{5}=\frac{\frac{3}{5}t-（4-t）}{3}$，
∴t=$\frac{25}{7}$，
綜上所述t=$\frac{15}{11}$或$\frac{25}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直角三角形的性質(zhì)及全等三角形以及相似三角形的判定及性質(zhì)，屬于綜合性較強(qiáng)的題目，對(duì)于此類動(dòng)點(diǎn)型題目，首先要確定符合題意的條件下動(dòng)點(diǎn)所在的位置，然后用時(shí)間t表示出有關(guān)線段的長度，進(jìn)而建立關(guān)于線段的關(guān)系式，難度較大．