Question

（1）如圖（a），已知直線AB過圓心O，交⊙O于A、B，直線AF交⊙O于F（不與B重合），直線l交⊙O于C、D，交AB于E，且與AF垂直，垂足為G，連接AC、AD．求證：①∠BAD=∠CAG；②AC•AD=AE•AF；
（2）在問題（1）中，當直線l向上平行移動，與⊙O相切時，其他條件不變．
①請你在圖（b）中畫出變化后的圖形，并對照圖（a），標記字母；
②問題（1）中的兩個結論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：
①連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠AGC=∠ADB=90°．
又∵ACDB是⊙O內接四邊形，
∴∠ACG=∠B．
∴∠BAD=∠CAG．
②連接CF，
∵∠BAD=∠CAG，∠EAG=∠FAB，
∴∠DAE=∠FAC．
又∵∠ADC=∠F，
∴△ADE∽△AFC．
∴

AD

AF

=

AE

AC

．
∴AC•AD=AE•AF．

（2）①如圖；
②兩個結論都成立，證明如下：
①連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACB=∠AGC=90°．
∵GC切⊙O于C，
∴∠GCA=∠ABC．
∴∠BAC=∠CAG（即∠BAD=∠CAG）．
②連接CF，
∵∠CAG=∠BAC，∠GCF=∠GAC，
∴∠GCF=∠CAE，∠ACF=∠ACG-∠GCF，∠E=∠ACG-∠CAE．
∴∠ACF=∠E．
∴△ACF∽△AEC．
∴

AC

AE

=

AF

AC

．
∴AC²=AE•AF（即AC•AD=AE•AF）．