Question

【題目】如圖，已知拋物線 yx2 bxc經(jīng)過△ ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn) A(0，1)，點(diǎn) B(9，10)，AC∥x 軸，點(diǎn) P 是直線 AC 下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) P 且與 y 軸平行的直線 l 與直線 AB、AC 分別交于點(diǎn) E、F.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖 1，當(dāng)四邊形 AECP 的面積最大時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)和四邊形 AECP 的最大面積；

（3）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) P 為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在直線 AC 上是否存在點(diǎn) Q，使得以 C，P，Q 為頂點(diǎn)的三角形與△ ABC 相似?若存在，請直接寫出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）時(shí)，四邊形的面積最大值是，此時(shí)；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)平行于x軸的直線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，可得C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得AB的解析式，根據(jù)直線上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得PE的長，根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；

（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得∠PCF=∠EAF，根據(jù)相似三角形的判定，可得關(guān)于t的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

（1）將A（0，1），B（9，10）代入函數(shù)解析式，

得 ，解得，

拋物線的解析式y=x2-2x+1；

（2）∵軸，，

∴，

解得，（舍），

即點(diǎn)坐標(biāo)為，

∵點(diǎn)，點(diǎn)，

∴直線的解析式為，

設(shè)，∴，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大值是，此時(shí)；

（3）∵，，，，

∴，

∴，

同理可得，

∴，

∴在直線上存在滿足條件得點(diǎn)，設(shè)且，，，

∵以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，

①當(dāng)時(shí)，，，解得，；

②當(dāng)時(shí)，∴，，解得，.

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在直線上存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.