Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1：y＝k1x+6與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且OB＝OA，直線l2：y＝k2x+b經(jīng)過點(diǎn)C（，1），與x軸、y軸、直線AB分別交于點(diǎn)E、F、D三點(diǎn)．

（1）求直線l1的解析式；

（2）如圖1，連接CB，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)和△BCD的面積；

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q，使△QCD是以CD為底邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+6；（2）D（﹣，3），S△BCD＝4；（3）存在點(diǎn)Q，使△QCD是以CD為底邊的等腰直角三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，±2）或（6﹣4，0）或（﹣4﹣6，0）

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法可得直線l1的解析式；

（2）如圖1，過C作CH⊥x軸于H，求點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用C和E兩點(diǎn)的坐標(biāo)求直線l2的解析式，與直線l1列方程組可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用面積和可得△BCD的面積；

（3）分四種情況：在x軸和y軸上，證明△DMQ≌△QNC（AAS），得DM＝QN，QM＝CN，設(shè)D（m，m+6）（m＜0），表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)OQ的長(zhǎng)列方程可得m的值，從而得到結(jié)論．

解：（1）y＝k1x+6，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝6，

∴OB＝6，

∵OB＝OA，

∴OA＝2，

∴A（﹣2，0），

把A（﹣2，0）代入：y＝k1x+6中得：﹣2k1+6＝0，

k1＝，

∴直線l1的解析式為：y＝x+6；

（2）如圖1，過C作CH⊥x軸于H，

∵C（，1），

∴OH＝，CH＝1，

Rt△ABO中，，

∴AB＝2OA，

∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，

∵CD⊥AB，

∴∠ADE＝90°，

∴∠AED＝30°，

∴EH＝，

∴OE＝OH+EH＝2，

∴E（2，0），

把E（2，0）和C（，1）代入y＝k2x+b中得：，

解得：，

∴直線l2：y＝x+2，

∴F（0，2）即BF＝6﹣2＝4，

則，解得，

∴D（﹣，3），

∴S△BCD＝BF（xC﹣xD）＝；

（3）分四種情況：

①當(dāng)Q在y軸的正半軸上時(shí)，如圖2，過D作DM⊥y軸于M，過C作CN⊥y軸于N，

∵△QCD是以CD為底邊的等腰直角三角形，

∴∠CQD＝90°，CQ＝DQ，

∴∠DMQ＝∠CNQ＝90°，

∴∠MDQ＝∠CQN，

∴△DMQ≌△QNC（AAS），

∴DM＝QN，QM＝CN＝，

設(shè)D（m，m+6）（m＜0），則Q（0，﹣m+1），

∴OQ＝QN+ON＝OM+QM，

即﹣m+1＝m+6+，

，

∴Q（0，2）；

②當(dāng)Q在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，如圖3，過D作DM⊥x軸于M，過C作CN⊥x軸于N，

同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），

∴DM＝QN，QM＝CN＝1，

設(shè)D（m，m+6）（m＜0），則Q（m+1，0），

∴OQ＝QN﹣ON＝OM﹣QM，

即m+6-＝﹣m﹣1，

m＝5﹣4，

∴Q（6﹣4，0）；

③當(dāng)Q在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，如圖4，過D作DM⊥x軸于M，過C作CN⊥x軸于N，

同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），

∴DM＝QN，QM＝CN＝1，

設(shè)D（m，m+6）（m＜0），則Q（m﹣1，0），

∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，

即﹣m﹣6﹣＝﹣m+1，

m＝﹣4﹣5，

∴Q（﹣4﹣6，0）；

④當(dāng)Q在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，如圖5，過D作DM⊥y軸于M，過C作CN⊥y軸于N，

同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），

∴DM＝QN，QM＝CN＝，

設(shè)D（m，m+6）（m＜0），則Q（0，m+1），

∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，

即﹣m﹣6+＝﹣m﹣1，

m＝﹣2﹣1，

∴Q（0，﹣2）；

綜上，存在點(diǎn)Q，使△QCD是以CD為底邊的等腰直角三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，±2）或（6﹣4，0）或（﹣4﹣6，0）．