Question

15．已知：如圖，正方形OABC的邊長(zhǎng)為4單位上，OA邊在x軸上，OC邊在y軸上，點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，連接BD、BE、DE．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4）．
（2）判斷△BDE的形狀，并證明你的結(jié)論；
（3）點(diǎn)M為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠MBD=45°時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性質(zhì)得到BC=BA，然后利用第一象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫(xiě)出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先利用勾股定理分別計(jì)算出DE、BE、BD，然后利用勾股定理的逆定理可證明△BDE為直角三角形；
（3）連結(jié)BO，根據(jù)正方形的性質(zhì)得BO=$\sqrt{2}$OA=4$\sqrt{2}$，∠BOA=45°，分類(lèi)討論：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D右側(cè)，如圖1，先證明△MBD∽△MOB，利用相似比可得到MB²=MO•MD=MA²+7MA+12，而由勾股定理得到MB²=AB²+AM²，所以MA²+7MA+12=AB²+AM²=4²+AM²，解方程得到AM=$\frac{4}{7}$，則此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{32}{7}$，0）；當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D左側(cè)，如圖2，證明△DOB∽△DBM，利用相似比可計(jì)算出DM，從而可確定此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵正方形ABCO的邊長(zhǎng)為4，
∴BC=BA=4，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4）；
故答案為（4，4）；
（2）△BDE為直角三角形．理由如下：
∵D（1，0），點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，
∴OE=CE=2，OD=1，
∴AD=3，
∴DE²=OD²+OE²=1+4=5，BE²=CE²+BE²=4+16=20，DB²=AD²+AB²=9+16=25，
∵5+20=25，
∴DE²+BE²=DB²，
∴△BDE為直角三角形，∠BED=90°；
（3）連結(jié)BO，
∵正方形ABCO的邊長(zhǎng)為4，
∴BO=$\sqrt{2}$OA=4$\sqrt{2}$，∠BOA=45°，
當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D右側(cè)，如圖1，
∵∠MBD=∠BOM=45°，∠DMB=∠OBM，
∴△MBD∽△MOB，
∴MB：MO=MD：MB，即MB²=MO•MD，
∴MB²=（MA+4）（MA+3）=MA²+7MA+12，
而MB²=AB²+AM²，
∴MA²+7MA+12=AB²+AM²=4²+AM²，
∴AM=$\frac{4}{7}$，
∴OM=4+$\frac{4}{7}$=$\frac{32}{7}$，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{32}{7}$，0）；
當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D左側(cè)，如圖2，
∵∠MBD=∠BOD=45°，∠ODB=∠BDM，
∴△DOB∽△DBM，
∴OD：BD=BD：DM，
即1：5=5：DM，
∴DM=25，
∴MO=MD-OD=25-1=24，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（-24，0），
綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-24，0）或（$\frac{32}{7}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的綜合題：熟練掌握一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和正方形的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，能利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長(zhǎng)；會(huì)運(yùn)用相似比進(jìn)行幾何計(jì)算，同時(shí)注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．