Question

19．如圖，已知△ABC，將△ABC繞點A順時針旋轉，使點C落在邊AB上的點E處，點B落在點D處，連接BD，如果∠DAC=∠DBA，那么$\frac{BD}{AB}$的值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由旋轉的性質得到AB=AD，∠CAB=∠DAB，根據(jù)三角形的內角和得到∠ABD=∠ADB=72°，∠BAD=36°，過D作∠ADB的平分線DF推出△ABD∽△DBF，解方程即可得到結論．

解答 解：如圖，由旋轉的性質得到AB=AD，∠CAB=∠DAB，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠CAD=∠ABD，
∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD，
∵∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，
∴∠ABD=∠ADB=72°，∠BAD=36°，
過D作∠ADB的平分線DF，
∴∠ADF=∠BDF=∠FAD=36°，
∴∠BFD=72°，∴AF=DF=BD，
∴△ABD∽△DBF，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{BF}{BD}$，即$\frac{BD}{AB}=\frac{AB-BD}{BD}$，
解得$\frac{BD}{AB}$=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題考查了旋轉的性質，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．