Question

14．在△ABC中（如圖1），AB=17，BC=21，AC=10．

（1）求△ABC的面積（某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過(guò)合作交流，給出了下面的解題思路，如圖2，請(qǐng)你按照他們的解題思路完成解解答過(guò)程）．
（2）若點(diǎn)P在直線BC上，當(dāng)△APC為直角三角形時(shí)，求CP的長(zhǎng)．（利用（1）的方法）
（3）若有一點(diǎn)Q在在直線BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△AQC為等腰三角形時(shí)，求BQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）作AD垂直于BC，設(shè)BD=x，則有CD=21-x，分別利用勾股定理表示出AD²，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，進(jìn)而確定出AD的長(zhǎng)，求出三角形ABC面積即可；
（2）如圖所示，分兩種情況考慮：當(dāng)△ACP₂為直角三角形時(shí)；當(dāng)△ACP₁為直角三角形時(shí)，分別求出CP的長(zhǎng)即可；
（3）如圖所示，分四種情況考慮：當(dāng)AC=CQ₁=10時(shí)；當(dāng)AQ₂=AC=10時(shí)；當(dāng)AQ₃=CQ₃時(shí)；當(dāng)AC=CQ₄=10時(shí)，分別求出BQ的長(zhǎng)即可．

解答 解：（1）作AD⊥BC，

設(shè)BD=x，則有CD=21-x，
在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得：AD²=17²-x²，
在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：AD²=10²-（21-x）²，
可得289-x²=100-（21-x）²，
整理得：42x=630，
解得：x=15，
∴AD=8，
則S=$\frac{1}{2}$BC•AD=84；   
（2）如圖所示：AB=17，BC=21，AC=10．


當(dāng)P₂與D重合時(shí)，此時(shí)△APC₂為直角三角形，CP₂=6；
當(dāng)△AP₁C為直角三角形時(shí)，
在Rt△ADP₁中，AP₁²=AD²+DP₁²=64+DP₁²，
在Rt△ACP1中，AP₁²=CP₁²-AC²=（DP₁+6）²-100，
即64+DP₁2=（DP₁+6）²-100，
解得：P₁D=$\frac{32}{3}$，此時(shí)CP₁=$\frac{50}{3}$；     
（3）如圖所示，

分四種情況考慮：當(dāng)AC=CQ₁=10時(shí)，BQ₁=21-10=11；
當(dāng)AQ₂=AC=10時(shí)，CD=Q₂D=6，此時(shí)BQ₂=21-12=9；
當(dāng)AQ₃=CQ₃時(shí)，此時(shí)BQ₃=$\frac{38}{3}$；
當(dāng)AC=CQ₄=10時(shí)，BQ₄=21+10=31．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于三角形綜合題，涉及的知識(shí)有：勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及線段垂直平分線定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．