Question

【題目】如圖，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，4）．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時(shí)，求出t的值；

（2）當(dāng)t=1時(shí)，拋物線y=2x2+bx+c經(jīng)過P，Q兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，在該拋物線上找點(diǎn)D，使∠MQD=∠MPQ，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）或（2）或

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得：∠B＝∠PAQ＝90，所以當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時(shí)，存在兩種情況：①當(dāng)△PAQ∽△QBC時(shí)，，②當(dāng)△PAQ∽△CBQ時(shí)，，分別列方程可得t的值；

（2）根據(jù)t＝1求拋物線的解析式，根據(jù)Q（2，2），M（0，2），可得MQ∥x軸，則PM＝PQ，PE⊥MQ，畫出符合條件的點(diǎn)D，利用三角函數(shù)，列比例式可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，同理根據(jù)對(duì)稱可得另一個(gè)點(diǎn)D．

（1）如圖1，

∵當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，且△PAQ可以構(gòu)成三角形，

∴0＜t＜2，

∵四邊形OABC是矩形，

∴∠B＝∠PAQ＝90

∴當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時(shí)，存在兩種情況：

①當(dāng)△PAQ∽△QBC時(shí)，

，

∴，

4t210t＋4＝0，

（4t2）（t2）=0，

t1＝2（舍），t2＝，

②當(dāng)△PAQ∽△CBQ時(shí)，，

∴，

t26t＋4＝0，

t＝，

∵＞2，

∴t＝不符合題意，舍去，

綜上所述，當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時(shí)，t的值是或；

（3）當(dāng)t＝1時(shí)，P（1，0），Q（2，2），

把P（1，0），Q（2，2）代入拋物線y＝2x2＋bx＋c中得：

，解得：，

∴拋物線：y＝2x24x＋2＝2（x1）2，

∴頂點(diǎn)為P（1，0），

∵Q（2，2），M（0，2），

∴MQ∥x軸，

作拋物線對(duì)稱軸，交MQ于E，設(shè)DQ交y軸于H，

∴PM＝PQ，PE⊥MQ，

∴∠MPE＝∠QPE＝∠MPQ，

如圖2，∠MQD＝∠MPQ＝∠QPE，

∴tan∠MQD＝tan∠QPE＝，

即，MH＝1，

∴H（0，3），Q（2，2）

設(shè)HQ的解析式為y=kx+b

把H（0，3），Q（2，2）代入得，解得

∴y＝ x＋3，

則

，

解得：x1＝2（舍），x2＝ ，

∴D；

同理，在M的下方，y軸上存在點(diǎn)H，如圖3，使∠HQM＝∠MPQ＝∠QPE，

由對(duì)稱性得：H（0，1），

設(shè)HQ的解析式為y=px+q

把H（0，1），Q（2，2）代入得，解得

∴y＝x＋1，

∴HQ的解析式：y＝x＋1，

則，

，

解得：x1＝2（舍），x2＝，

∴D；

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：D或．