22.(2009遼寧卷文)(本小題滿分12分)
設(shè)
，且曲線y＝f(x)在x＝1處的切線與x軸平行。
(I) 求a的值，并討論f(x)的單調(diào)性；
(II)
證明：當(dāng)
解：(Ⅰ)
.有條件知，
，故
.
………2分
于是
.
故當(dāng)
時，
＜0；
當(dāng)
時，＞0.
從而
在
，
單調(diào)減少，在
單調(diào)增加. ………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在
單調(diào)增加，故在的最大值為
，
最小值為
.
從而對任意
，
，有
.
………10分
而當(dāng)
時，
.
從而 
………12分
21.(2009福建卷理)(本小題滿分14分)
已知函數(shù)
,且
(1) 試用含
的代數(shù)式表示b,并求的單調(diào)區(qū)間；
(2)令
,設(shè)函數(shù)在
處取得極值，記點(diǎn)M (,
)，N(,
)，P(
), 
,請仔細(xì)觀察曲線在點(diǎn)P處的切線與線段MP的位置變化趨勢，并解釋以下問題：
(I)若對任意的m (,
x
)，線段MP與曲線f(x)均有異于M,P的公共點(diǎn)，試確定t的最小值，并證明你的結(jié)論；
(II)若存在點(diǎn)Q(n ,f(n)),
x 
n<
m,使得線段PQ與曲線f(x)有異于P、Q的公共點(diǎn)，請直接寫出m的取值范圍(不必給出求解過程)
解法一:
(Ⅰ)依題意,得
由
.
從而
令
21世紀(jì)教育網(wǎng) 
①當(dāng)a>1時, 
當(dāng)x變化時，與的變化情況如下表：
|
x |
 |
 |
 |
|
|
+ |
－ |
+ |
|
|
單調(diào)遞增 |
單調(diào)遞減 |
單調(diào)遞增 |
由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為。
②當(dāng)
時，
此時有
恒成立，且僅在
處
，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R
③當(dāng)
時，
同理可得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
和
，單調(diào)減區(qū)間為
21世紀(jì)教育網(wǎng)
綜上：
當(dāng)
時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.
(Ⅱ)由得
令
得
由(1)得增區(qū)間為和
，單調(diào)減區(qū)間為
，所以函數(shù)在處取得極值，故M(
)N(
)。
觀察的圖象，有如下現(xiàn)象：
①當(dāng)m從-1(不含-1)變化到3時，線段MP的斜率與曲線在點(diǎn)P處切線的斜率之差Kmp-
的值由正連續(xù)變?yōu)樨?fù)。
②線段MP與曲線是否有異于H，P的公共點(diǎn)與Kmp－的m正負(fù)有著密切的關(guān)聯(lián)；
③Kmp－=0對應(yīng)的位置可能是臨界點(diǎn)，故推測：滿足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面給出證明并確定的t最小值.曲線在點(diǎn)
處的切線斜率
；
線段MP的斜率Kmp
當(dāng)Kmp－=0時，解得
直線MP的方程為
21世紀(jì)教育網(wǎng)
令
當(dāng)
時，
在
上只有一個零點(diǎn)
，可判斷函數(shù)在
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減，又
，所以
在上沒有零點(diǎn)，即線段MP與曲線沒有異于M，P的公共點(diǎn)。
當(dāng)
時，
.
所以存在
使得
即當(dāng)
MP與曲線有異于M,P的公共點(diǎn)21世紀(jì)教育網(wǎng)
綜上，t的最小值為2.
(2)類似(1)于中的觀察，可得m的取值范圍為
解法二：
(1)同解法一.
(2)由得
，令
，得
由(1)得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值。故M().N()
(Ⅰ)
直線MP的方程為
由
得
線段MP與曲線
有異于M,P的公共點(diǎn)等價于上述方程在(－1,m)上有根,即函數(shù)
上有零點(diǎn).
因?yàn)楹瘮?shù)
為三次函數(shù),所以至多有三個零點(diǎn),兩個極值點(diǎn).
又
.因此,
在
上有零點(diǎn)等價于在內(nèi)恰有一個極大值點(diǎn)和一個極小值點(diǎn),即
內(nèi)有兩不相等的實(shí)數(shù)根.
等價于
即
又因?yàn)?sub>
,所以m
的取值范圍為(2,3)
從而滿足題設(shè)條件的r的最小值為2.
20.(2009湖南卷文)(本小題滿分13分)
已知函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.
(Ⅰ)求b的值；
(Ⅱ)若在
處取得最小值，記此極小值為
，求的定義域和值域。
解: (Ⅰ)
.因?yàn)楹瘮?shù)
的圖象關(guān)于直線x=2對稱，
所以
，于是
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
，
.
(ⅰ)當(dāng)c 
12時，
，此時無極值�！ �
(ii)當(dāng)c<12時，
有兩個互異實(shí)根,.不妨設(shè)＜，則＜2＜.
當(dāng)x＜時，
， 在區(qū)間
內(nèi)為增函數(shù)； 21世紀(jì)教育網(wǎng)
當(dāng)＜x＜時，
，在區(qū)間
內(nèi)為減函數(shù);
當(dāng)
時，，在區(qū)間
內(nèi)為增函數(shù).
所以在
處取極大值，在
處取極小值.
因此，當(dāng)且僅當(dāng)
時，函數(shù)在處存在唯一極小值，所以
.
于是的定義域?yàn)?sub>
.由 
得
.
于是 
.
當(dāng)
時，
所以函數(shù)
在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，故的值域?yàn)?sub>
21世紀(jì)教育網(wǎng)
19.(2009全國卷Ⅱ理)(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù)
有兩個極值點(diǎn)
，且
(I)求的取值范圍，并討論
的單調(diào)性；
(II)證明：
解: (I)
令
，其對稱軸為
。由題意知是方程
的兩個均大于
的不相等的實(shí)根，其充要條件為
，得
⑴當(dāng)
時，
在
內(nèi)為增函數(shù)；21世紀(jì)教育網(wǎng)
⑵當(dāng)
時，
在內(nèi)為減函數(shù)；
⑶當(dāng)
時，在
內(nèi)為增函數(shù)；
(II)由(I)
，
設(shè)
，
則
⑴當(dāng)
時，
在
單調(diào)遞增；
⑵當(dāng)
時，
，
在
單調(diào)遞減。21世紀(jì)教育網(wǎng)
故
．
18.(2009四川卷文)(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
的圖象在與
軸交點(diǎn)處的切線方程是
。
(I)求函數(shù)的解析式；
(II)設(shè)函數(shù)
，若的極值存在，求實(shí)數(shù)
的取值范圍以及函數(shù)取得極值時對應(yīng)的自變量的值.
[解析](I)由已知,切點(diǎn)為(2,0),故有
,即
……①
又
，由已知
得
……②
聯(lián)立①②，解得
.
所以函數(shù)的解析式為
…………………………………4分
(II)因?yàn)?sub>
令
當(dāng)函數(shù)有極值時，則
，方程
有實(shí)數(shù)解， 21世紀(jì)教育網(wǎng)
由
，得
.
①當(dāng)
時，
有實(shí)數(shù)
，在左右兩側(cè)均有
，故函數(shù)無極值
②當(dāng)
時，有兩個實(shí)數(shù)根
情況如下表：
|
|
|
|
|
|
 |
 |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
↗ |
極大值 |
↘ |
極小值 |
↗ |
所以在
時，函數(shù)有極值；
當(dāng)
時，有極大值；當(dāng)
時，有極小值；
…………………………………12分
17.(2009湖北卷理)(本小題滿分14分) (注意：在試題卷上作答無效)
在R上定義運(yùn)算
(b、c為實(shí)常數(shù))。記
，
，
.令
.
如果函數(shù)
在
處有極什
,試確定b、c的值；
求曲線
上斜率為c的切線與該曲線的公共點(diǎn)；
記
的最大值為
.若
對任意的b、c恒成立，試示
的最大值。
解當(dāng)
得對稱軸x=b位于區(qū)間
之外21世紀(jì)教育網(wǎng)
此時
由
①
若
于是
②
若
，則
，
于是
綜上，對任意的b、c都有
而當(dāng)，
時，
在區(qū)間上的最大值
21世紀(jì)教育網(wǎng)
故
對任意的b，c恒成立的k的最大值為
16.(2009天津卷文)(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù)
(Ⅰ)當(dāng)
曲線
處的切線斜率
(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；
(Ⅲ)已知函數(shù)有三個互不相同的零點(diǎn)0，
，且
。若對任意的
，
恒成立，求m的取值范圍。
[答案](1)1(2)在
和
內(nèi)減函數(shù)，在
內(nèi)增函數(shù)。函數(shù)在
處取得極大值
，且=
函數(shù)在
處取得極小值
，且=
[解析]解：當(dāng)
所以曲線處的切線斜率為1. 21世紀(jì)教育網(wǎng)
(2)解：
，令
，得到
因?yàn)?sub>
當(dāng)x變化時，
的變化情況如下表：
|
|
|
 |
|
 |
|
 |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
  |
極小值 |
 |
極大值 |
 |
在和內(nèi)減函數(shù)，在內(nèi)增函數(shù)。
函數(shù)在處取得極大值，且=
函數(shù)在處取得極小值，且=
(3)解：由題設(shè)，
所以方程
=0由兩個相異的實(shí)根，故
，且
，解得
因?yàn)?sub>
若
，而
，不合題意
若
則對任意的有
則
又，所以函數(shù)在的最小值為0，于是對任意的，恒成立的充要條件是
,解得
21世紀(jì)教育網(wǎng)
綜上，m的取值范圍是
[考點(diǎn)定位]本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，以及函數(shù)與方程的根的關(guān)系解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析問題和解決問題的能力。
15.(2009江西卷理)(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù)
(1)
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；21世紀(jì)教育網(wǎng)
(2)
若
，求不等式
的解集．
解： (1) 
,
由
,得 
.
因?yàn)?當(dāng)
時,
；
當(dāng)
時,；
當(dāng)
時,
；
所以的單調(diào)增區(qū)間是:
；
單調(diào)減區(qū)間是: 
.
(2)
由 
,
得：
.
故：當(dāng) 
時, 解集是：
；
當(dāng) 
時，解集是： 
；
當(dāng) 
時, 解集是：
. 21世紀(jì)教育網(wǎng)
14.(2009江西卷文)(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù)
．
(1)對于任意實(shí)數(shù)，
恒成立，求的最大值；
(2)若方程
有且僅有一個實(shí)根，求的取值范圍．
解：(1) 
,
因?yàn)?sub>
,
,
即 
恒成立,
所以 
, 得
，即的最大值為
(2) 因?yàn)?當(dāng)
時, ;當(dāng)
時, ;當(dāng)
時, ;
所以 當(dāng)時,取極大值 
;
當(dāng)
時,取極小值 
;
故當(dāng)
或
時, 方程僅有一個實(shí)根. 解得 
或
.
13.(2009安徽卷文)(本小題滿分14分)
已知函數(shù)
，a＞0，21世紀(jì)教育網(wǎng)
(Ⅰ)討論
的單調(diào)性；
(Ⅱ)設(shè)a=3，求在區(qū)間{1，
}上值域。期中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)。
[思路]由求導(dǎo)可判斷得單調(diào)性，同時要注意對參數(shù)的討論，即不能漏掉，也不能重復(fù)。第二問就根據(jù)第一問中所涉及到的單調(diào)性來求函數(shù)在
上的值域。
[解析](1)由于
令
21世紀(jì)教育網(wǎng)
①當(dāng)
,即
時, 
恒成立.
在(－∞,0)及(0,+∞)上都是增函數(shù).
②當(dāng)
,即
時21世紀(jì)教育網(wǎng)
由
得
或
21世紀(jì)教育網(wǎng)
或或
又由
得
綜上①當(dāng)
時, 在
上都是增函數(shù).
②當(dāng)
時, 在
上是減函數(shù), 21世紀(jì)教育網(wǎng)
在
上都是增函數(shù).
(2)當(dāng)
時,由(1)知在
上是減函數(shù).
在
上是增函數(shù).
又
21世紀(jì)教育網(wǎng)
函數(shù)在上的值域?yàn)?sub>
21世紀(jì)教育網(wǎng)
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