3．向量的數量積的性質：
若
=(
),b=(
)則e·=·e=︱︱cos
(e為單位向量);
⊥b
·b=0
(，b為非零向量);︱︱=
;
cos=
=
．
2．兩個向量的數量積：
已知兩個非零向量與b，它們的夾角為，則·b=︱︱·︱b︱cos．
其中︱b︱cos稱為向量b在方向上的投影．
1．向量的夾角：
已知兩個非零向量與b，作
=, 
=b,則∠AOB= (
)叫做向量與b的夾角。
15、解：(1)方程
有兩實根
或
…………………………..1分
由題意知:當
時,
，
又∵
∴
…………………………………………….3分
∴
是
的一個零點，同理，
也是的一個零點，…………………….4分
∴
，即
，
，
顯然，
對
恒成立。
∴，…………………………………………………………………….6分
(2)∵
，
，
∴
，
……………………………..7分
∴
，，
，
∴
，………………………………………………………..…..9分
……………...10分
又∵
…………….12分
∴
………….13分
∴
，∴
為定值�！�..14分
14、解：(1)
在
上為增函數…………………………………..1分
∵
，∴
，……….…………….3分
∵ 當
時，
……………………………….4分
∴ 當時，
，
∴當時，
，…………………………..5分
∴
，∴在
上單增�！�6分
(2)由題意及(1)可知，
，
，…………………7分
∴
……..8分
∵
，∴
，……………..9分
，
∴
…………………………………………………..10分
令
則
∴
，……………………………………………11分
∵
………………………………..…….12分
∴
在
單增，……………………………………..……………..13分
∴當
時，
�！�..14分
13、解：(1)由拋物線經過點
、
設拋物線方程
，
又拋物線過點
，則
，得
，
所以
�！ �
…………………… 3分
(2)
，
，函數在
和
處取到極值，…… 5分
故
，
，
………… 7分
又
，故
。
…… 8分
(3)設切點
，則切線的斜率
又
，所以切線的方程是
…… 9分
又切線過原點，故
所以
，解得
，或
�！� ………… 10分
兩條切線的斜率為
，
，
由
，得
，
，
，
………………………… 12分
所以
，
又兩條切線垂直，故
，所以上式等號成立，有
，且
。
所以
。
………… 14 分
12、解：由 
，得點
是
的中點，
則
， 故
，
，………… 4分
所以
…… 6分
(2)由(1)知當
時，
�！ �
…… 8分
又
， ………… 10分
∴
，
∴
…………… 13分
(
，且
) …………… 14分
10、解：(1)當
時，由
得
，
；(且
)------------------------------------------------------2分
當
時，由
.得
--------------------------------------4分
∴
---------------------------5分
(2)當且時，由
<0,解得
，---------------6分
當時，
------------------------------8分
∴函數的單調減區(qū)間為(－1，0)和(0，1)---------------------------------------9分
(3)對
，都有
即
，也就是
對恒成立，-------------------------------------------11分
由(2)知當時，
∴函數在
和
都單調遞增-----------------------------------------------12分
又
，
當
時
，∴當
時，
同理可得，當
時，有
，
綜上所述得，對， 取得最大值2；
∴實數
的取值范圍為
.----------------------------------------------------------------14分
11(1)解：函數
有一個零點為5，即方程
，有一個根為5，將
代入方程得
，∴
，∴
---------------1分
由
得
∴
或
-------------------------------3分
由(1)知，∴不合舍去
由得
---------------------------4分
方法1：由得
----------------------5分
∴數列
是首項為
，公比為
的等比數列
∴
，∴
-------------------------------6分
(方法2：由---①得當時
----②
①-②得
∴
()即數列
是首項為
，公比為的等比數列
∵
，∴
---------------③
由①得
代入③整理得)
(2)由(1)知
∴
＝
------8分
∵對
有
，∴
∴
，即
---------------------------------------------10分
(3)由
得
∴
＝
-----------------------11分
令
，則
，
＝
∵函數
在
上為增函數，在
上為減函數-----12分
當
時
，當
時
，當
時，
，當
時
，
∵
，且
∴當時,
有最小值，即數列
有最小項，最小項為
--------------------------------------------------------13分
當即時，有最大值，即數列有最大項，最大項為
．
9、解：(1)證明：定義在R上的函數
對任意的
，
都有
成立
令
(1分)
令
∴
(3分)
∴
為奇函數
(4分)
(2)證明：由(1)知：為奇函數， ∴
(5分)
任取，且
，則
∵
∴
∵當
時，
，
∴
，∴
(8分)
∴
是R上的增函數�！ � (9分)
(3)解：∵，且
∴
(10分)
由不等式
，得
(11分)
由(2)知：是R上的增函數
∴
(13分)
∴不等式的解集為：
(14分)
8、解：(I)由圖形知：
………2分
解之,得
∴函數f(x)的解析式為
………4分
(Ⅱ)由
得 
…2分
∵0≤t≤2，
∴直線l1與f(x)的圖象的交點坐標為
……………3分
由定積分的幾何意義知：
………4分
.
……………5分
(Ⅲ)令
因為x＞0，要使函數f(x)與函數g(x)有且僅有2個不同的交點，則函數
的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個不同的交點.
………………1分
.
當x∈(0，1)時，
是增函數；
當x∈(1，3)時，
是減函數;
當x∈(3，+∞)時，
是增函數;
………………2分
當x=1或x=3時，
.
∴
.
又因為當x無限趨近于零時，
當x無限大時,
所以要使
有且僅有兩個不同的正根，必須且只須
……………………4分
即
∴m=7,或
所以當m=7或
時，函數與
的圖象有且只有兩個不同交點.
…………5分
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