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如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=3,D,E分別是AC,AB上的點,且DE∥BC,DE=4,將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置,使A₁C⊥CD,如圖2.

圖1                      圖2

(1)求證:A₁C⊥平面BCDE;

(2)過點E作截面平面,分別交CB于F,于H,求截面的面積;

(3)線段BC上是否存在點P,使平面A₁DP與平面A₁BE成的角?說明理由.

 

（理）如圖（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分別是AC、AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如圖（2）．
①求直線A₁E與平面CBED所成角的正弦值；
②求平面A₁CD與平面A₁BE所成銳角的余弦值；
③在線段BC上是否存在點P，使平面A₁DP與平面A₁BE垂直？若存在，求出CP的值；若不存在，請說明理由．

（理）如圖（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分別是AC、AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如圖（2）．
①求直線A₁E與平面CBED所成角的正弦值；
②求平面A₁CD與平面A₁BE所成銳角的余弦值；
③在線段BC上是否存在點P，使平面A₁DP與平面A₁BE垂直？若存在，求出CP的值；若不存在，請說明理由．

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD,如圖2.

（1）   求證：A₁C⊥平面BCDE；

（2）   若M是A₁D的中點，求CM與平面A₁BE所成角的大�。�

（3）   線段BC上是否存在點P，使平面A₁DP與平面A₁BE垂直？說明理由

【解析】（1）∵DE∥BC∴∴∴∴又∵∴

（2）如圖，以C為坐標原點，建立空間直角坐標系C-xyz，

則

設平面的法向量為，則,又，，所以，令，則，所以，

設CM與平面所成角為。因為，

所以

所以CM與平面所成角為。