Question

如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=3,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),且DE∥BC,DE=4,將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置,使A₁C⊥CD,如圖2.

圖1                      圖2

(1)求證:A₁C⊥平面BCDE;

(2)過點(diǎn)E作截面平面,分別交CB于F,于H,求截面的面積;

(3)線段BC上是否存在點(diǎn)P,使平面A₁DP與平面A₁BE成的角?說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)要證明線面垂直，則根據(jù)線面垂直的判定定理來得到。（2）

(3) 存在線段上存在點(diǎn),使平面與平面成的角

【解析】

試題分析：解:(1), 平面.

又平面, .

又, 平面         ……4分

(2) )過點(diǎn)E作EF∥CD交BC于F,過點(diǎn)F作FH∥交于H,連結(jié)EH.

則截面平面。

因?yàn)樗倪呅蜤FCD為矩形，所以EF=CD=1，CF=DE=4，從而FB=2，HF=

平面, FH∥，平面，

  ……8分

(3)假設(shè)線段BC上存在點(diǎn)P,使平面A₁DP與平面A₁BE成的角。

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,則.

如圖建系,則,,, .

∴, 

設(shè)平面法向量為,

則∴ ，∴

設(shè)平面法向量為,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013052611320139162597/SYS201305261133130166517982_DA.files/image043.png">,. 

則∴∴ 

則∴56,

解得

∵ ∴

所以存在線段上存在點(diǎn),使平面與平面成的角. ……12分

考點(diǎn)：空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系的運(yùn)用

點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是根據(jù)面面垂直化的判定定理以及二面角的概念來求解，屬于基礎(chǔ)題。