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練習冊

練習冊
試題

2009蘇北四市高三年級調(diào)研考試

數(shù)學模擬試題

注意事項:

1、本試題由必做題與附加題兩部分組成,選修歷史的考生僅需對試題中的必做題部分做答,考試時間為120分鐘；選修物理的考生需對試題中的必做題和附加題這兩部分作答,考試時間為150分鐘.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．

2、答題前，請您務(wù)必將自己的學校、班級、姓名、考試證號用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆填寫在試卷及答題卡上規(guī)定的地方.

3、作題時必須用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無效.

參考公式：　

線性相關(guān)系數(shù)公式：

線性回歸方程系數(shù)公式：，其中，．

必做題部分（滿分160分)

(考試時間：120分鐘；滿分：160分)

一.填空題

1．已知數(shù)集中有三個元素，那么x的取值范圍為 ▲ .

2. 函數(shù)的增區(qū)間為 ▲ .

3.已知是菱形ABCD的四個頂點，則 ▲ .

4. 一個算法如下：第一步：s取值0，i取值1

第二步：若i不大于12，則執(zhí)行下一步；否則執(zhí)行第六步

第三步：計算S＋i并將結(jié)果代替S

第四步：用i＋2的值代替i

第五步：轉(zhuǎn)去執(zhí)行第二步

第六步：輸出S

則運行以上步驟輸出的結(jié)果為 ▲ .

5.已知復數(shù)若為實數(shù)，則實數(shù)m= ▲ .

6.一個總體中的80個個體編號為0，l，2，……，79，并依次將其分為8個組，組號為0，1，…，7，要用（錯位）系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為8的樣本．即規(guī)定先在第0組隨機抽取一個號碼，記為i，依次錯位地得到后面各組的號碼，即第k組中抽取個位數(shù)為i+k（當i＋k<10）或i+k－10（當i＋k≥10）的號碼．在i=6時，所抽到的8個號碼是▲ .

7.過△ABC的重心任作一直線分別交AB，AC于點D、E．若，，，則的值為▲ .

8．曲線在它們的交點處的兩條切線互相垂直，則的值是▲ .

9.橢圓，右焦點F（c,0），方程的兩個根分別為x₁,x₂，則點P（x₁,x₂）在與圓的位置關(guān)系是▲ .

10.給出下列關(guān)于互不相同的直線m、l、n和平面α、β的四個命題：

①若；

②若m、l是異面直線，；

③若；

④若

其中為真命題的是▲ .

11．若方程的解為，則不等式的最大整數(shù)解是▲ .．

12.復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為A，B，C，若是鈍角，則實數(shù)c的取值范圍為▲ .

13．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，，

，則不等式的解集是▲ .

14．若RtΔABC中兩直角邊為a、b,斜邊c上的高為h，則，如圖，在正方體的一角上截取三棱錐P-ABC，PO為棱錐的高，記M=,N=,那么M、N的大小關(guān)系是▲ ．

二.解答題

15. (本題滿分14分)

已知

（1）的解析表達式；

（2）若角是一個三角形的最小內(nèi)角，試求函數(shù)的值域．

16. (本題滿分14分)

如圖，已知空間四邊形中，，是的中點．

求證：（1）平面CDE；

（2）平面平面．

（3）若G為的重心,試在線段AE上確定一點F,使得GF平面CDE．

17.(本題滿分14分) 某食品公司為了解某種新品種食品的市場需求，進行了20天的測試，人為地調(diào)控每天產(chǎn)品的單價（元/件）：前10天每天單價呈直線下降趨勢（第10天免費贈送品嘗），后10天呈直線上升，其中4天的單價記錄如下表：

時間（將第x天記為x）x

1

10

11

18

單價（元/件）P

9

0

1

8

而這20天相應(yīng)的銷售量（百件/天）與對應(yīng)的點在如圖所示的半圓上．

（Ⅰ）寫出每天銷售收入（元）與時間（天）的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）在這20天中哪一天銷售收入最高？為使每天銷售收入最高，按此次測試結(jié)果應(yīng)將單價定為多少元為好？（結(jié)果精確到1元）

18．(本題滿分16分)有如下結(jié)論：“圓上一點處的切線方程為

”，類比也有結(jié)論：“橢圓處的切

線方程為”，過橢圓C：的右準線l上任意一點M引橢圓C的

兩條切線，切點為 A、B.

（1）求證：直線AB恒過一定點；（2）當點M在的縱坐標為1時，求△ABM的面積

19. (本題滿分16分)

已知函數(shù)(其中) ,

點從左到右依次是函數(shù)圖象上三點,且.

（Ⅰ）證明: 函數(shù)在上是減函數(shù)；

（Ⅱ）求證：ㄓ是鈍角三角形;

(Ⅲ) 試問,ㄓ能否是等腰三角形?若能,求ㄓ面積的最大值;若不能,請說明理由．

20．（本題滿分16分）

已知函數(shù)，數(shù)列滿足對于一切有，且．數(shù)列滿足，設(shè)．

（Ⅰ）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并指出公比；

（Ⅱ）若，求數(shù)列的通項公式；

（Ⅲ）若（為常數(shù)），求數(shù)列從第幾項起，后面的項都滿足．

附加題

1．（本小題滿分10分）

設(shè)是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到倍，縱坐標伸長到倍的伸壓變換．

（Ⅰ）求矩陣的特征值及相應(yīng)的特征向量；

（Ⅱ）求逆矩陣以及橢圓在的作用下的新曲線的方程．

2.已知A是曲線ρ=3cosθ上任意一點，求點A到直線ρcosθ=1距離的最大值和最小值

3.某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件．一用戶在購進該批產(chǎn)品前先取出3箱，再從每箱中任意抽取2件產(chǎn)品進行檢驗．設(shè)取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品．

4. 已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰為的中點，又知。

（I）求證：平面；

（II）求到平面的距離；

（III）求二面角余弦值的大小。

答案

1.2. 3. 6或14 4.36 5. 2

6.6，17，28，39，40，51，62，73 7.3 8.

9.點P（x₁,x₂）在圓內(nèi)10.①②④11. 212.

13.14.M=N

15. 解：（1）由，得

，…………………………2分

，

，，

于是，，

∴，即．…………………………7分

（2）∵角是一個三角形的最小內(nèi)角，∴0<≤,,………………10分

設(shè),則≥（當且僅當時取=）,………12分

故函數(shù)的值域為．………………………………14分

16．證明：（1）同理，

又∵ ∴平面．　　…………………5分

（2）由（1）有平面

又∵平面， ∴平面平面．………………9分

（3）連接AG并延長交CD于H，連接EH，則，

在AE上取點F使得，則，易知GF平面CDE．…………………14分

17.解：（1）， ………3分

，， ………6分

∴。 ………8分

（2）∵，……11分

∴當且僅當，即時，有最大值。……13分

∵，∴取時，（元），

此時，（元）。答：第3天或第17天銷售收入最高，此時應(yīng)將單價定為7元為好

18. 解：（1）設(shè)M

∵點M在MA上∴ ①……………………3分

同理可得②…………………………5分

由①②知AB的方程為…………6分

易知右焦點F（）滿足③式，故AB恒過橢圓C的右焦點F（）……8分

（2）把AB的方程

∴……………………12分

又M到AB的距離

∴△ABM的面積……………………15分

19解：(Ⅰ)

…………………………

所以函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù). …………………………4分

（Ⅱ）證明:據(jù)題意且x₁<x₂<x₃,

由(Ⅰ)知f (x₁)>f (x₂)>f (x₃), x₂=…………………………6分

…………………8分

即ㄓ是鈍角三角形……………………………………..10分

（Ⅲ）假設(shè)ㄓ為等腰三角形，則只能是

即

① …………………………………………..14分

而事實上, ②

由于,故(2)式等號不成立.這與式矛盾. 所以ㄓ不可能為等腰三角形..16分

20. [解]

（Ⅰ）

_{… 2}_分

故數(shù)列為等比數(shù)列，公比為３. _{……… 4}_分

（Ⅱ）

_{……… 6}_分

_{所以數(shù)列}_是以_為首項,_{公差為 log}_a3_{的等差數(shù)列.}

又

_{……… 8}_分

又=1+3,且

_{……… 10}_分

（Ⅲ）

假設(shè)第項后有

即第項后，于是原命題等價于

_{……… 15}_分

故數(shù)列從項起滿足． _{……… 16}_分

附加題

1. 解：（Ⅰ）由條件得矩陣，

它的特征值為和，對應(yīng)的特征向量為及；

（Ⅱ），

橢圓在的作用下的新曲線的方程為．

2. 已知A是曲線ρ=3cosθ上任意一點，求點A到直線ρcosθ=1距離的最大值和最小值。

將極坐標方程轉(zhuǎn)化成直角坐標方程：

ρ=3cosθ即：x²＋y²=3x,(x－)²＋y²=

ρcosθ=1即x=1直線與圓相交。

所求最大值為2，最小值為0

3. 解：（Ⅰ）ξ可能的取值為0，1，2，3．

P(ξ＝0)＝?＝＝P(ξ＝1)＝?＋?＝P(ξ＝2)＝?＋?＝

P(ξ＝3)＝?＝． ξ的分布列為

ξ

0

1

2

3

P

數(shù)學期望為Eξ＝1.2．

(Ⅱ)所求的概率為

p＝P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝

4（解：（I）如圖，取的中點，則，因為，

所以，又平面，

以為軸建立空間坐標系，

則，，，

，，

，，

，由，知，

又，從而平面；

（II）由，得。

設(shè)平面的法向量為，，，所以

，設(shè)，則

所以點到平面的距離。

（III）再設(shè)平面的法向量為，，，

所以

，設(shè)，則，

故，根據(jù)法向量的方向，

可知二面角的余弦值大小為

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