Question

【題目】已知函數(shù)（，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個不同的零點．

（ⅰ）當時，求實數(shù)的取值范圍；

（ⅱ）設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）；（ii）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）先對函數(shù)求導(dǎo)，得到，根據(jù)，由，即可求出單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）（�。┫扔桑á瘢┑玫�，分和兩種情況討論，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進而可得出結(jié)果；

（ⅱ）先由題意得到，從而有，設(shè)，，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進而可證明結(jié)論成立.

（Ⅰ）由題意得，當時，令，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，，

當時，,函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不合題意，所以.

又時，；，，

函數(shù)有兩個零點，函數(shù)在遞減，函數(shù)在遞增， ，

，得.

（ⅱ）由題意得：

，兩式相減，得，

不妨設(shè)，，則

令，,,

在上單調(diào)遞減，，即．