Question

【題目】如圖①，正方形的邊長(zhǎng)為4，，，把四邊形沿折起，使得平面，是的中點(diǎn)，如圖②

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）

【解析】

首先結(jié)合已知底面，所以有，再結(jié)合菱形的性質(zhì)即可得到，那么（1）便不難求證了。對(duì)于（2）首先建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分析可知，為平面的一個(gè)法向量，再求出平面的法向量，然后根據(jù)進(jìn)行求解即可。

解：（1）證明：連接，因?yàn)?/span>，底面，

所以底面，又底面，所以，

因?yàn)?/span>，所以四邊形為菱形，所以，

又，平面，平面，所以平面.

（2）由（1）知四邊形為菱形，，，

設(shè)，所以，，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，

所以，，

設(shè)平面的法向量為，

則所以令，則，，

即平面的一個(gè)法向量為，

易知平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)二面角的大小為，由圖易知，

所以.