Question

如圖五面體中,四邊形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,AB∥EF,AB=EF=2,AF=BE=2,P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點(diǎn).

(1)求證:PQ∥平面BCE;
(2)求證:AM⊥平面ADF.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析  （2）見(jiàn)解析

解析證明:(1)法一　連接AC,

∵四邊形ABCD是矩形,
∴AC與BD交于點(diǎn)Q.
在△ACE中,Q為AC中點(diǎn),
P為AE中點(diǎn),
∴PQ∥CE.
又PQ?平面BCE,CE?平面BCE,
∴PQ∥平面BCE.
法二　取AB的中點(diǎn)G,連接PG,QG,如圖所示,
∵Q、G分別為BD、BA的中點(diǎn),
∴QG∥AD.
又∵AD∥BC,
∴QG∥BC,
∵QG?平面BCE,BC?平面BCE,
∴QG∥平面BCE.
同理可證,PG∥平面BCE.
又PG∩QG=G,
∴平面PQG∥平面BCE,
∴PQ∥平面BCE.
(2)∵M(jìn)為EF中點(diǎn),
∴EM=MF=EF=AB=2,
又AB∥EF,
∴四邊形ABEM是平行四邊形,
∴AM=BE=2.
在△AFM中,AF=AM=2,MF=2,
∴AM⊥AF.
又DA⊥平面ABEF,AM?平面ABEF,
∴DA⊥AM.
∵DA∩AF=A,
∴AM⊥平面ADF.