Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（x+1）是偶函數(shù)，當x∈（2，4）時，f（x）=|x﹣3|，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（ ）
A.1
B.0
C.2
D.﹣2

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（x+1）是偶函數(shù)，
∴f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣x+1）=f（x+1），
∴f（x+4）=f[（x+3）+1]=f[﹣（x+3）+1]=f（﹣x﹣2）=﹣f（x+2）
=﹣f[（x+1）+1]=﹣f[﹣（x+1）+1]=﹣f（﹣x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，f（4）=f（0）=0，
∵當x∈（2，4）時，f（x）=|x﹣3|，
∴f（3）=0，f（4）=0，
f（1）=﹣f（﹣1）=﹣f（3）=0，
f（2）=﹣f（﹣2）=﹣f（2）=0，
故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
故選：B
【考點精析】利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．