Question

【題目】面對(duì)環(huán)境污染黨和政府高度重視，各級(jí)環(huán)保部門(mén)制定了嚴(yán)格措施治理污染，同時(shí)宣傳部門(mén)加大保護(hù)環(huán)境的宣傳力度，因此綠色低碳出行越來(lái)越成為市民的共識(shí)，為此某市在八里湖新區(qū)建立了公共自行車(chē)服務(wù)系統(tǒng)，市民憑本人二代身份證到公共自行車(chē)服務(wù)中心辦理誠(chéng)信借車(chē)卡，初次辦卡時(shí)卡內(nèi)預(yù)先贈(zèng)送20分，當(dāng)誠(chéng)信積分為0時(shí)，借車(chē)卡自動(dòng)鎖定，限制借車(chē)，用戶(hù)應(yīng)持卡到公共自行車(chē)服務(wù)中心以1元購(gòu)1個(gè)積分的形式再次激活該卡，為了鼓勵(lì)市民租用公共自行車(chē)出行，同時(shí)督促市民盡快還車(chē)，方便更多的市民使用，公共自行車(chē)按每車(chē)每次的租用時(shí)間進(jìn)行扣分繳費(fèi)，具體扣分標(biāo)準(zhǔn)如下：
①租用時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)，免費(fèi)；
②租用時(shí)間為1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)，扣1分；
③租用時(shí)間為2小時(shí)以上且不超過(guò)3小時(shí)，扣2分；
④租用時(shí)間為3小時(shí)以上且不超過(guò)4小時(shí)，扣3分；
⑤租車(chē)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)除扣3分外，超出時(shí)間按每小時(shí)扣2分收費(fèi)（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）
甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用公共自行車(chē)一次，且兩人租車(chē)時(shí)間都不會(huì)超過(guò)4小時(shí)，設(shè)甲、乙租用時(shí)間不超過(guò)一小時(shí)的概率分別是0.4，0.5；租用時(shí)間為1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)的概率分別是0.3，0.3；租用時(shí)間為2小時(shí)以上且不超過(guò)3小時(shí)的概率分別是0.2，0.1．
（1）求甲、乙兩人所扣積分相同的概率；
（2）設(shè)甲、乙兩人所扣積分之和為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意，分別記“甲所付租車(chē)費(fèi)0元、1元、2元”為事件A1，A2，A3，它們彼此互斥，

且P（A1）=0.4，P（A2）=0.4，∴P（A3）=1﹣0.4﹣0.5=0.1，

分別記“乙所付租車(chē)費(fèi)0元、1元、2元”為事件B1，B2，B3，它們彼此互斥，

且P（B1）=0.5，P（B2）=0.3，∴P（B3）=1﹣0.5﹣0.3=0.2．

由題知，事件A1，A2，A3與事件B1，B2，B3相互獨(dú)立，

記甲、乙兩人所付租車(chē)費(fèi)相同為事件M，則M=A1B1+A2B2+A3B3，

所以P（M）=P（A1）P（B1）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B3）

=0.4×0.5+0.5×0.3+0.1×0.2=0.2+0.15+0.02=0.37

（2）解：據(jù)題意ξ的可能取值為：0，1，2，3，4，

P（ξ=0）=P（A1）P（B1）=0.2，

P（ξ=1）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）=0.4×0.3+0.5×0.5=0.37，

P（ξ=2）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）=0.4×0.2+0.5×0.3+0.1×0.5=0.28，

P（ξ=3）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=0.5×0.2+0.1×0.3=0.13，

P（ξ=4）=P（A3）P（B3）=0.1×0.2=0.02，

所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	0.2	0.37	0.28	0.13	0.02

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×0.2+1×0.37+2×0.28+3×0.13+4×0.02=1.4，

甲、乙兩人所付租車(chē)費(fèi)相同的概率為0.37，ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=1.4

【解析】（1）由題設(shè)，分別記“甲所付租車(chē)費(fèi)0元、1元、2元”為事件A1 ， A2 ， A3 ， 它們彼此互斥；分別記“乙所付租車(chē)費(fèi)0元、1元、2元”為事件B1 ， B2 ， B3 ， 它們也彼此互斥．記甲、乙兩人所付租車(chē)費(fèi)相同為事件M，則M=A1B1+A2B2+A3B3 ， 由此可求事件M的概率．（2）據(jù)題意ξ的可能取值為：0，1，2，3，4 其中ξ=0表示甲乙的付車(chē)費(fèi)均為0元，即事件A1B1 發(fā)生；ξ=1表示甲乙共付1元車(chē)費(fèi)，即甲付1元乙付0元或甲付0元乙付1元，即事件A1B2+A2B1；ξ=2表示甲乙共付2元車(chē)費(fèi)，即甲付1元乙付1元或甲付0元乙付2元或甲付2元乙付0元，即事件A2B2+A1B3+A3B1；ξ=3表示甲乙共付3元車(chē)費(fèi)，即甲付1元乙付2元或甲付2元乙付1元，即事件A2B3+A3B2；ξ=4表示甲乙共付4元車(chē)費(fèi)，即甲付2元乙付2元，即事件A3B3 ． 由此可求出隨機(jī)變量ξ的分布列，并由公式求出Eξ．
【考點(diǎn)精析】利用離散型隨機(jī)變量及其分布列對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱(chēng)表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列．