Question

【題目】已知正項數(shù)列的前n項和為，對于任意正整數(shù)m、n及正常數(shù)q，當時，恒成立，若存在常數(shù)，使得為等差數(shù)列，則常數(shù)c的值為______

Answer 1

【答案】

【解析】

可令m＝n﹣1，結合數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的通項公式和求和公式，討論q是否為1，結合等差數(shù)列的通項公式和對數(shù)的運算性質，可得所求結論．

解：因為對任意正整數(shù)n，m，

當n＞m時，Sn﹣Sm＝qmSn﹣m總成立，

所以n≥2時，令m＝n﹣1，得到Sn﹣Sn﹣1＝qn﹣1S1，即an＝a1qn﹣1＝qn﹣1，

當n＝1時，也成立，

所以an＝qn﹣1，

當q＝1時，Sn＝n，q≠1時，Sn，

{lg（c﹣Sn）}為等差數(shù)列，可得q≠1，

lg（c）＝lgnlgq﹣lg（1﹣q）為等差數(shù)列，

即有c（0＜q＜1），

故答案為：c（0＜q＜1）．