Question

【題目】如圖，橢圓的離心率是，左右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線過時(shí)，的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線方程；

（3）已知點(diǎn)，直線，的斜率分別為，.問是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)存在，

【解析】

（1）由焦點(diǎn)三角形的周長特點(diǎn)可求出值，再結(jié)合橢圓離心率是，可求出，進(jìn)而求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2），設(shè)直線方程為，，，可聯(lián)立直線方程和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，得出兩根和與積的表達(dá)式，再結(jié)合，代換出與的關(guān)系式；

（3）先用必要性探路，找特殊情況，當(dāng)軸可知，此時(shí)存在使得成立，根據(jù)題意和斜率定義表示出，結(jié)合（2）中韋達(dá)定理即可得證

（1）由橢圓定義知的周長為，

所以，所以

又離心率，所以，所以

所以橢圓的方程為.

（2）當(dāng)軸，

所以可設(shè)，，

則，消去得

所以

因?yàn)?/span>，

所以，即代入化簡得

所以

解得

所以直線方程為：，

（3）當(dāng)軸可知，此時(shí)存在使得成立，

下面證明當(dāng)時(shí)恒成立

因?yàn)?/span>

所以恒成立

即存在，使得恒成立.