Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知且，若函數(shù)沒有零點(diǎn)，求證：．

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2)證明見解析

【解析】

(1)求導(dǎo)后分和兩種情況進(jìn)行討論即可.

(2)由題函數(shù)沒有零點(diǎn),轉(zhuǎn)換為與在無交點(diǎn),再求導(dǎo)分析的單調(diào)性與最值,進(jìn)而求得的取值范圍.再代入,構(gòu)造函數(shù)分析單調(diào)性與最值證明即可.

解法一：（1）

當(dāng)時(shí)，令得或；

令得．

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)遞減區(qū)間為

當(dāng)時(shí)，令得；

令得或．

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為和.

綜上所述,當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和.

（2）函數(shù)在時(shí)無零點(diǎn)，即在無解

則與在無交點(diǎn)

，在上單調(diào)遞增

，∴

則

由（1）得在上單調(diào)遞增

要證

即證

即證

即證

令

在時(shí)單調(diào)遞增，

所以原不等式成立．

解法二：（1）同解法一

（2）函數(shù)在時(shí)無零點(diǎn)，即在無解

則與在無交點(diǎn)

，在上單調(diào)遞增

，∴

則

要證，

即證，

即證

因?yàn)?/span>，

所以只需證 ，

即證 ，

令

，

在時(shí)單調(diào)遞增，

，

所以原不等式成立．