Question

【題目】如圖，已知橢圓 的長(zhǎng)軸，長(zhǎng)為4，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為（）的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率之積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線(xiàn)，直線(xiàn)，分別與相交于、兩點(diǎn)，設(shè)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4可得a，設(shè)出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，利用斜率之積為，可得，即可得到b2，可得橢圓方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)BC的方程為：y＝k（x﹣1）與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，直線(xiàn)的方程為：y（x+2）與x=4聯(lián)立，可得點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，可得線(xiàn)段MN的中點(diǎn)E．利用根與系數(shù)的關(guān)系及其斜率計(jì)算公式可得，只要證明1即可．

（1）設(shè)，，因點(diǎn)在橢圓上，所以，

故.又，，

所以，即，又，所以

故橢圓的方程為.

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為：，，，

聯(lián)立方程組，消去并整理得，

，則，.

直線(xiàn)的方程為，令得，

同理，；

所以，

代入化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)，又，

所以，所以.