Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且與雙曲線有相同的焦點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)，若直線斜率為，求面積的最大值及此時(shí)直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2），直線的方程為

【解析】

(1)有題意有可求解.
(2)先討論特特殊情況, 是否為原點(diǎn)，然后當(dāng)的斜率存在時(shí), 設(shè)的斜率為,表示出的長(zhǎng)度，進(jìn)一步表示出的面積,然后求最值.

解：（1）由題設(shè)知

，

橢圓的方程為：

（2）法一： 為的中點(diǎn)

又

1）當(dāng)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)

當(dāng)的斜率不存在時(shí)，此時(shí)、為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)

當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)的斜率為

設(shè)，，則，代入橢圓方程

整理得：

，

到的距離

解一：令

令

或

函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增

時(shí)，為的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)

直線方程為

解二：設(shè)，則

要得的最大值

，

當(dāng)，時(shí)，即，時(shí)等號(hào)成立

，直線方程為

2）當(dāng)不為原點(diǎn)時(shí)，由，

，，三點(diǎn)共線

，設(shè)，，，

的斜率為

，，

，在橢圓上，

得

，即

設(shè)直線代入橢圓方程，整理得

，

到直線的距離

令，，

令，，，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

，

，此時(shí)直線

綜上所述：，直線的方程為

解二：設(shè)，，為的中點(diǎn)，在橢圓上

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)則，

， 所以

，則，為短軸上的兩個(gè)端點(diǎn)

當(dāng)直線的斜存在時(shí)，設(shè)，

消去得

,

，

由得

或

下同解法一