Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

（Ⅱ）設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)的切線(xiàn).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在，單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】

（Ⅰ）先求得函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證得有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

（Ⅱ）令，得.利用求得曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)，求得與此切線(xiàn)的斜率相等的曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程，利用判斷出這兩條切線(xiàn)方程相同，由此證得結(jié)論成立.

（Ⅰ）的定義域?yàn)?/span>，

因?yàn)?/span>，所以在，單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>，，所以在有唯一零點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，由，得；

因?yàn)?/span>，所以在有唯一零點(diǎn).

綜上，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

（Ⅱ）由題設(shè)知，即，

由，得，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)為：

，即.

由，得，則曲線(xiàn)的斜率為的切線(xiàn)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)滿(mǎn)足，解得，代入，得，

故曲線(xiàn)的斜率為的切線(xiàn)方程為，即，

由，得，從而與為同一條直線(xiàn).