Question

【題目】已知點Pn(an ， bn)滿足an＋1＝an·bn＋1 ， bn＋1＝(n∈N*)且點P1的坐標為(1，－1)．
（1）求過點P1 ， P2的直線l的方程；
（2）試用數(shù)學歸納法證明：對于n∈N* ， 點Pn都在(1)中的直線l上．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】

由P1的坐標為（1，-1）知a1=1,b1=-1.

所以

所以點p2的坐標為

所以直線l的方程為2x+y=1.

（2）

【解答】

證明：（1）當n=1時，2a1+b1=21+(-1)=1成立。

（2）假設(shè)n=k時，2ak+bk=1成立。

則當n=k+1時，

所以當n=k+1時，命題也成立。

由（1）（2）知，對,都有2an+bn=1,

即點Pn在直線l上.

【解析】一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值時命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N+)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．上述證明方法叫做數(shù)學歸納法
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)學歸納法的步驟的相關(guān)知識，掌握

1. 步驟:A.命題在n=1（或）時成立，這是遞推的基礎(chǔ)；B.假設(shè)在n=k時命題成立； C.證明n=k+1時命題也成立,完成這兩步,就可以斷定對任何自然數(shù)(或n>=,且)結(jié)論都成立

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