Question

【題目】如圖所示，曲線是以坐標原點為頂點， 軸為對稱軸的拋物線，且焦點在軸正半軸上，圓．過焦點且與軸平行的直線與拋物線交于兩點，且．

（1）求拋物線的標準方程；

（2）直線過且與拋物線和圓依次交于，且直線的斜率，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ．

【解析】試題分析：（1）設拋物線的標準方程為： 求出拋物線的焦點，可得 ，可得拋物線的方程，；
（2）求出 的坐標和直線的方程，求出圓心到直線的距離，運用弦長公式可得 ，再聯(lián)立直線和拋物線的方程，運用韋達定理和拋物線的定義，可得 ， 由此可得關于 的解析式 ，設，求出關于 的關系式，運用換元法和導數(shù)，結合單調性，即可得到所求范圍．

試題解析：（1）根據(jù)題意可知，拋物線的標準方程為：

∵，則

∴

∴拋物線的標準方程為： ．

（2）由（1）可知，

∴

設，

聯(lián)立方程消去，得

∴

∴

∴

又∵點到直線的距離為，則

∴

令，則

∴

又∵

∴的范圍為．