Question

【題目】如圖，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長為4的正三角形，B，E，F(xiàn)分別是AA1 ， CC1的中點，且BE⊥B1F．

（Ⅰ）求證：B1F⊥EC1；
（Ⅱ）求二面角C1﹣BE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）分別取BC1 ， BC中點D，G，連結ED，AG， ∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且底面是正三角形，
∴AG⊥面BCC1B1 ，
又∵E，D都是中點，∴ED∥AG，則ED⊥面BCC1B1 ， 可得ED⊥B1F，
已知BE⊥B1F，且BE∩ED=E，∴B1F⊥面BEC1 ， 則B1F⊥EC1；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知B1F⊥面BEC1 ， ∴B1F⊥BC1 ， 則△B1C1F∽△BB1C1 ，
∴ ，設BB1=a，則C1F= ，代入得a= ，
以O為原點，OE為x軸，OC為y軸，過O作平面ABC的垂線為z軸，建立如圖坐標系O﹣xyz，

得C（0，2，0），B（ ，0，0），E（0，﹣2， ），
C1（0，2，4 ），B1（ ，0， ），F(xiàn)（0，2，2 ）．
∵B1F⊥面BEC1 ， ∴平面BEC1的一個法向量為 ；
設平面BEC的一個法向量為 ，
則 ，取x= ，得y=3，z= ．
∴ ．
∴cos＜ ＞= = =- ．
∴二面角C1﹣BE﹣C的余弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）分別取BC1 ， BC中點D，G，連結ED，AG，推導出AG⊥面BCC1B1 ， 從而ED⊥B1F，BE⊥B1F，由此能證明B1F⊥面BEC1 ， 進一步得到B1F⊥EC1；（Ⅱ）以O為原點，OE為x軸，OC為y軸，過O作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角C1﹣BE﹣C的余弦值．