Question

【題目】已知集合，且.

（1）證明：若，則是偶數(shù)；

（2）設(shè)，且，求實(shí)數(shù)的值；

（3）設(shè)，求證：；并求滿足的的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析，.

【解析】

（1）根據(jù),將代入化簡,結(jié)合即可證明.

（2）根據(jù)題意,設(shè),結(jié)合（1）并分類討論即可求得的值, 代入求得的值,討論并舍去不符合要求的的值,即可得實(shí)數(shù)的值;

（3）根據(jù)題意,設(shè)代入化簡,并結(jié)合即可證明;化簡不等式,結(jié)合（2）可知,在范圍內(nèi)的值只能是,即,即可求得的值.

（1）證明: 若,則

所以

因?yàn)?/span>

所以原式

因?yàn)?/span>

所以偶數(shù)

原式得證

（2）因?yàn)?/span>,且

則,所以

設(shè),

由（1）可知,即

所以或

當(dāng)時,代入可得

此時,不滿足,所以不成立

當(dāng)時,代入解得,若,則,不滿足,所以不成立;若,則,滿足

綜上,可知

（3）證明:因?yàn)?/span>,所以可設(shè)且

則

代入

即成立,原式得證

對于,不等式同時除以可得

由（2）可知, 在范圍內(nèi),

所以

即