Question

【題目】已知a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，a=2bcosB，b≠c．
（1）證明：A=2B；
（2）若a2+c2=b2+2acsinC，求A．

Answer 1

【答案】
（1）證明：△ABC中，a=2bcosB，

由 ，得sinA=2sinBcosB=sin2B，

∵0＜A，B＜π，

∴sinA=sin2B＞0，

∴0＜2B＜π，

∴A=2B或A+2B=π，

若A+2B=π，則B=C，b=c這與“b≠c”矛盾，

∴A+2B≠π；

∴A=2B

（2）解：∵a2+c2=b2+2acsinC，

∴ ，

由余弦定理得cosB=sinC，

∵0＜B，C＜π，

∴ 或 ，

①當(dāng) 時(shí)，則 ，

這與“b≠c”矛盾，∴ ；

②當(dāng) 時(shí)，由（1）得A=2B，

∴ ，

∴ ．

【解析】（1）由正弦定理和正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可證明A=2B成立；（2）由余弦定理和正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)，化簡(jiǎn)求值即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正弦定理的定義的相關(guān)知識(shí)，掌握正弦定理:，以及對(duì)余弦定理的定義的理解，了解余弦定理:;;．