Question

若數(shù)列{a_n}的項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列{a_n+1-Ka_n}是公比為l的等比數(shù)列，則相應(yīng)的數(shù)列{a_n+1-1a_n}是公比為k的等比數(shù)列，運(yùn)用此性質(zhì)，可以較為簡(jiǎn)潔的求出一類遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式，并簡(jiǎn)稱此法為雙等比數(shù)列法．已知數(shù)列{a_n}中，a1=

3

5

，a2=

31

100

，且an+1=

1

10

an+

1

2n+1

．
（1）試?yán)�用雙等比數(shù)列法求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用an+1-

1

10

an=

1

2n+1

，判斷{an+1-

1

10

an}是公比為

1

2

的等比數(shù)列，求出an+1-

1

2

an=(

1

10

)n+1，然后求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用拆項(xiàng)法，把通項(xiàng)分解為兩個(gè)等比數(shù)列，然后求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）有條件知：an+1-

1

10

an=

1

2n+1

，①
所以{an+1-

1

10

an}是公比為

1

2

的等比數(shù)列，
故{an+1-

1

2

an}是以首項(xiàng)為a2-

1

2

a1=

1

100

，公比為

1

10

的等比數(shù)列，
所以：an+1-

1

2

an=(

1

10

)n+1，②
由①、②得an=

5

2

(

1

2n+1

-

1

10n+1

)．
（2）S_n=a₁+a₂+…+a_n
═

5

2

(

1

4

1

102

)+

5

2

(

1

23

-

1

103

)+…+ 

5

2

(

1

2n+1

-

1

10n+1

)
=

5

2

[(

1

4

+

1

23

+…+

1

2n+1

)-(

1

102

+

1

103

+…+

1

10n+1

)]
=

11

9

+

1

36

•

1

10n

-

5

4

•

1

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的判斷，數(shù)列求和的拆項(xiàng)法、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．