Question

在實(shí)數(shù)集R上定義運(yùn)算：
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若在R上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若，在的曲線上是否存在兩點(diǎn)，使得過這兩點(diǎn)的切線互相垂直？若存在，求出切線方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

（I）（II）.
（III）的曲線上不存的兩點(diǎn)，使得過這兩點(diǎn)的切線點(diǎn)互相垂直.

試題分析：（I）由新定義計(jì)算即得，關(guān)鍵是理解“新運(yùn)算”的意義；
（II）根據(jù)時(shí)，在減函數(shù)，得到對于恒成立，
即恒成立，得到.
屬于常規(guī)題目，難度不大，主要是注意應(yīng)用“轉(zhuǎn)化與化歸思想” .
（III）假定是曲線上的任意兩點(diǎn)，如果存在互相垂直的切線，則有
.因此，只需研究是否成立即可.
試題解析：（I）由題意，              2分
            4分
（II）∵，      6分
當(dāng)時(shí)，在減函數(shù)，
∴對于恒成立，即
恒成立，             8分
∵，
∴恒成立，
∴，
∴.                    9分
（III）當(dāng)時(shí)，，
設(shè)是曲線上的任意兩點(diǎn)，
∵，              11分
∴，
∴不成立.            12分
∴的曲線上不存的兩點(diǎn)，使得過這兩點(diǎn)的切線點(diǎn)互相垂直.    13分